Page 22 - og_2_olimpiyat

Örnek n n
38 n tam sayı olmak üzere, 12 < 5 < 21 eşitsizliğini sağlayan ve sadeleştirilemeyen 5 şek-
lindeki kesirlerin toplamı kaçtır?
(UİMO - 2009)

A) 582 B) 588 C) 592 D) 594 E) 598

1. Bölüm
60 n 105
Çözüm Eşitsizliği < < biçiminde düzenlediğimizde n tam sayılarının 61, 62, 63, . . . , 104
5 5 5
n
olabileceği görülür. Buna göre, bu n tam sayıları için şeklindeki kesirlerin tümü toplandığında
5
.
.
104 105 60 61
61 62 63+... + 104 den 2 − 2 = 52 21 661 ve 726 olur. Ancak sadeleştiri-
+
+
−
.
.
5 5
n
lemeyen kesirlerin toplamını bulmak için in aralıktaki tam sayı değerleri çıkarılmalıdır.
5
20 . 21 12 . 13
13 + 14 + 15 + . . . + 20 = - den 210 - 78 = 132 eksiltilerek istenilen toplam
2 2
726 - 132 = 594 tür.
Cevap: D
Örnek
39 x pozitif gerçel sayısının tam sayı ve kesirli kısımlarının çarpımı 2 den, y pozitif gerçel
sayısının tam sayı ve kesirli kısımlarının çarpımı da 3 ten küçük değilse, xy en az
kaç olabilir?
(UİMO - 2012)

183 209 245 231 271
A) B) C) D) E)
11 12 14 13 15

BASİT EŞİTSİZLİKLER – MUTLAK DEĞER (O Kadar Basit Değil)
x, y sayılarının istenen biçimde sayılar olabilmesi için x in tam kısmı en az 3 ve y nin tam kısmı
Çözüm
4 olmalıdır. Bu durumda x = 3 + a ve y = 4 + b (0 < a < 1, 0 < b < 1) olmak üzere 3a ≥ 2, 4b ≥ 3
olduğundan a ≥ 2 ve b ≥ 3 dir. x . y = 12 + 3b + 4a + ab eşitliğinde 4a ≥ 8 ve 3b ≥ 9 ve
3 4 3 4
ab ≥ 6 değerleri yazılırsa x . y ≥ 209 olup x . y en az 209 olabilir.
12 12 12 Cevap: B

ALTIN NOKTA
22
22 AL TIN NOKT A