Page 18 - og_2_olimpiyat

Örnek
2
23 -5 ≤ a ≤ 4 olduğuna göre a + 4a + 3 ifadesinin alabileceği kaç farklı tamsayı değeri
vardır?

1. Bölüm
2
Çözüm Muhtemeldir ki' a ve 4a nın değer aralığını bulup 3 de ekleyerek eşitsizlikleri taraf tarafa topla-
makla isteneni bulurum' diye düşünen hatta işlemi tamamlayanlar olmuştur. Oysa gerçek biraz
farklı. Önce doğru yoldan cevaba gidelim sonra nedeni üzerinde konuşalım.

İfadeyi a + 4a + 4 - 1 = (a + 2) -1 olarak düzenleyip -3 ≤ a + 2 ≤ 6 için karesi hangi aralıkta
2
2
2
olacak diye bakalım. 0 ≤ (a + 2) ≤ 36 son olarak 1 eksiltelim ve ifadenin alabileceği değer aralığı
-1 ≤ (a + 2) -1 ≤ 35 olarak bulunur. Buna göre a + 4a + 3 ifadesinin alabileceği 37 farklı tam
2
2
sayı değeri (-1, 0, 1, 2, . . . , 35) vardır. Gelelim doğru yolun neden bu yöntem olduğuna; ilk düşü-
nülen işlemin (belki de önceki Örneklerde yapılanları ezberle bu işleme bakılmasından) hatasını
keşfedersen mesele anlaşılır. Şöyle ki farklı değişkenlerin değer aralıkları taraf tarafa toplanılabilir
ancak aynı değişkenle ilgili (a ve 4a gibi) ifadelerde bunu yapamayız. Çünkü hangi a değeri için
2
kare alma ya da 4 katını alma işlemi yapılmış ise o değerler toplanır. Oysa aralıkları toplarken
aynı a için olmayan işlem yapılıyor, yanlışlık bu. Mesela 0 ≤ a ≤ 25 ve -20 ≤ 4a ≤ 16 için yapılan
2
2
toplamada elde edilen -20 ≤ a + 4a ≤ 41 ifadesi hatalıdır. Çünkü a nın -5 değeri için a , a nın 4
2
değeri için 4a toplanırsa ancak 41 bulunur. Ya da a nın 0 değeri ile karesi, -5 için 4 katı toplanarak
-20 bulunur. Ancak iki durumda da yanlış bir yol izlenmiştir.

Örnek 1 1 1 1 1
24 a ve b reel sayılardır. 4 ≤ a < 1 ve 5 < b ≤ 3 olmak üzere, a - b ifadesinin ala-
bileceği tam sayı değerleri toplamı kaçtır?

1
Çözüm Verilen değer aralıklarından hareketle 1 < a ≤ 4 ve (hem çarpımsal tersi hem de -1 katı alına-
BASİT EŞİTSİZLİKLER – MUTLAK DEĞER (O Kadar Basit Değil)
1 1 1
rak) -5 < - ≤ -3 olur. Buna göre toplama işlemi ile -4 < - ≤ 1 elde edilir. Sonuç olarak
b a b
1 - 1 ifadesinin alabilceği tamsayı değerler toplamı -3 -2 -1 + 0 + 1 = -5 dir.
a b

Örnek x +y
25 6 < x ≤ 18 ve 1 ≤ y < 6 olduğuna göre, x . y ifadesinin alabileceği kaç farklı tam sayı
değeri vardır?

x + y x y 1 1
Çözüm x . y ifadesinin düzenlenmiş biçimi xy . + xy . = y + x olduğu için değer aralıklarını kullanarak
ifadenin alabileceği en geniş değer aralığını bulmalıyız. Bu durumda 1 < 1 ≤ 1 ve 1 ≤ 1 < 1
6 y 18 x 6
1 1 1 1 1 x + y
eşitsizliklerini taraf tarafa toplayarak + < + < 1 + elde edilir. Buna göre
18 6 y x 6 x . y
ifadesinin alabileceği sadece 1 tane tam sayı değeri vardır.

ALTIN NOKTA
18
18 AL TIN NOKT A