Page 58 - og_2_olimpiyat

Örnek 3a 4b 5c 7d
8 3 + 3 + 3 = 3 eşitliğini sağlayan a, b, c, d pozitif tam sayıları için a + b + c + d top-
lamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
(UİMO - 1999)

A) 278 B) 287 C) 782 D) 872 E) Hiçbiri

3. Bölüm
k
k
7d
k+1
k
k
Çözüm 3a = 4b = 5c = k için 3 + 3 + 3 = 3.3 = 3 = 3 ve k + 1 = 7d olup eşitlik sağlanacaktır. Bu
durumda en küçük k değeri OKEK(3, 4, 5) = 60 olur. Fakat k + 1 = 7d olması gerektiği için
k = 60 bu eşitliği sağlamadığından k = 120, 180, 240 değerleri incelenir. Bu değerler de sağlama-
dığı için k = 300 incelenir 3a = 4b = 5c = 300 den a = 100, b = 75, c = 60 ve (7d = 301 den) d = 43
bulunur. Sonuç olarak eşitliği sağlayan a, b, c, d pozitif tam sayıları için
a + b + c + d toplamının alabileceği en küçük değer 100 + 75 + 60 + 43 = 278 dir.
Cevap: A
Örnek 2000 2000 2000 2001
9 a + b + c = d eşitliğini sağlayan kaç (a, b, c, d) pozitif tam sayı sıralı dört-
lüsü vardır?
(UİMO - 2001)

A) 0 B) 1 C) 3 D) 6 E) Sonsuz çoklukta

.
ÇARPANLARA AYIRMA (En Mühim Alışveriş)
Çözüm Eşitliğin a = b = c = d = 3 için sağlandığı görülebilir. ( 3 2000 + 3 2000 + 3 2000 = 33 2000 = 3 2001 ) Bundan
hareketle, k bir pozitif tam sayı olmak üzere tüm a = b = c = 3.k 2001 için
(
( 3.k ) 2000 + ( 3.k ) 2000 + ( 3.k ) 2000 = 33..k ) 2000 = 33 2000 . k ( 2001 ) 2000 dir. Dolayısıyla ifade
2001
2001
.
2001
2001
3 ( 2000 2001 = ( 3.k ) 2001 şeklinde yazılabilir. Sonuç olarak (3.k 2001 , 3.k 2001 , 3.k 2001 , 3. k 2000 ) bi-
. k )
2001
2000
çiminde sonsuz tane (a, b, c, d) pozitif tam sayı sıralı dörtlüsü vardır.
Cevap: E
Örnek 2
10 x - y = ñ5 + 1 ve y - z = ñ5 - 3 olduğuna göre, x - xz - xy + yz ifadesi kaça eşittir?
Değerini bulmamız istenen ifade, terimleri sırasıyla iki grup olarak değerlendirilip devamında
Çözüm
2
x - xz - xy + yz = x (x - z) - y (x - z) = (x - z) (x - y) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Burada x - z
çarpanının değerini bulmamız gerekecektir. Bunun için problemde verilen iki eşitliği toplamalıyız.
x - y + y - z = ñ5 + 1 + ñ5 - 3 ten x - z = 2ñ5 - 2 bulunur.
Sonuç olarak İfadenin eşiti (x - z) (x - y) = (2ñ5 - 2)(ñ5 + 1) = 2(5 - 1) = 8 dir.

58 ALTIN NOKTA