Page 63 - og_2_olimpiyat

Örnek 256 n
22 5 - 1 sayısı 2 ile bölünüyorsa, n en çok kaç olabilir?
(UMO - 2002)

A) 8 B) 10 C) 11 D) 12 E) Hiçbiri 3. Bölüm

256
Çözüm 5 - 1 sayısını iki kare farkı ile çarpanlarına ayıralım.
32
32
64
5 −
128
1
5 (
1) (
1
5 256 −= 5 128 + 1) den devamla 5 −= ( 5 + 1)
−
1) (

5 ( 64 − )( 64 + 1) 5 ( 16 − )( 16 + 1)
1 5
1 5
16
8
8
1
4
5 −= ( 5 − 1) ( 5 + 1) 5 −= ( 5 − 1 5 + 1)
2
2
)
(
1
son olarak yazılabilir.

4
+
( 5 − 1 5 +)( 4 1) ( 51 51)
− )(
32
64
4
Buna göre, 5 - 1 = (5 - 1)(5 + 1)(5 + 1)(5 + 1)(5 + 1)(5 + 1)(5 + 1)(5 + 1)(5 + 1) biçi-
2
8
128
256
16
n
minde çarpanlara ayrılır. 5 + 1 biçimindeki çarpanlar çift olup 4 ile tam bölünmedikleri için (4 ile
bölümünden 2 kalır) bu biçimdeki her çarpandan birer adet (toplam 8 tane) 2 çarpanı yazılabilir.
5 - 1 çarpanı ise 4 olup buradan da iki tane 2 çarpanı yazılabilir. Sonuç olarak 5 - 1 sayısının
256
10
çarpanları arasında 8 + 2 = 10 tane 2 çarpanı olup en çok n = 10 için 2 ile bölünür.
Cevap: B ÇARPANLARA AYIRMA (En Mühim Alışveriş)
Örnek 3 nin, (100 - 99 ) (99 - 98 ) . . . (3 - 2 ) (2 - 1 ) çarpımını bölmesini sağlayan en
2
n
2
2
2
2
2
2
2
23
büyük n tam sayısı kaçtır?
(UMO - 2007)
A) 49 B) 53 C) 97 D) 103 E) Hiçbiri
Çözüm Çarpımı iki kare farkı gereği çarpanlara ayırarak yazarsan çarpanların her ikisinden biri 1 olup
diğeri bir tek sayıdır. (Her tek sayı iki tam sayının kareleri farkı biçiminde yazılabilir.) Buna göre
çarpım 199.197.195. . . .5.3 tür.
Bu çarpımı 2.4.6. . . . 198 = 2 .99! sayısı ile çarpar ve bölersen
99
199 197 195 .... .. .. . .... = 199 ! şeklinde yazabilirsin. Buradan daha önceden keş-
53 24 6 .198
.
.
99
.
299 ! 2 99 .999!
e
fettiğin üzere ('ne zaman keşfettik yahu?' sorusunun cevabı: OM G -1 seyahati)
a
199 3 99 3
66 3 33 3
22 3 11 3
7 3 3 3
2 1

199! de 66 + 22 + 7 + 2 = 97 adet 3 çarpanı ve 99! de ise 33 + 11 + 3 + 1 = 48 adet 3 çarpanı
vardır. Bu durumda verilen çarpımın eşiti olarak yazdığın 199! ifadesinin 97 - 48 = 49 tane 3
99
.
çarpanı vardır ve 3 bu çarpımı böler. 299!
49

2
Sonuç olarak 3 nin (100 - 99 ) (99 - 98 ) . . . (3 - 2 ) (2 - 1 ) çarpımını bölmesini sağlayan en
2
2
2
2
n
2
2
2
büyük n tam sayısı 49 dur.
Cevap: A
ALTIN NOKTA 63