Page 60 - og_2_olimpiyat

Örnek
2
14 3x - 13x + xy -4y + 4 ifadesinin alabileceği en küçük asal sayı değeri için pozitif tam
sayı olan x ve y değerlerinin çarpımı kaçtır?

İfade bir asal sayı ise çarpanlarına ayrılabildiğinde çarpanlardan biri 1 e eşit olmalıdır. Önce çar-
Çözüm
panlara ayıralım. Bunun için gruplandırma yöntemini kullanacağız. y değişkeni içeren iki terim
3. Bölüm
bir grup oluşturup çarpanlara ayrıldığında xy - 4y = y (x - 4) olduğu için diğer terimlerin de x - 4
çarpanı içermesi beklenir. Geriye üç terim kaldığından gruplandırmayı nasıl yapabiliriz acaba?
Burada sabit terim olan 4 ancak - x ile birlikte - (x - 4) biçiminde kullanılabilir. O zaman -13x
terimini - 12x - x olarak iki parça şeklinde kullanırız.
2
Bu durumda ifademizi 3x - 12x + xy - 4y - x + 4 şeklinde yazalım. Buradan
3x(x - 4) + y(x - 4) - (x - 4) = (x - 4)(3x + y - 1) olur. x ve y pozitif tam sayı olduğundan ikinci
çarpan 1 olamaz. Öyle ise birinci çarpan 1 ve x = 5 tir. Bu değer için ikinci çarpanın alabileceği en
küçük asal sayı (3.5 + y - 1 den) değeri 17 olabilir ve y = 3 tür. Sonuç olarak ifadenin alabileceği
en küçük asal sayı değerini almasını sağlayan x ve y değerlerinin çarpımı 15 tir.

Örnek
15 1 ≤ a ≤ 37, 1 ≤ b ≤ 37 koşullarını ve 37 nin 1 + 7a + 8b + 19ab yi bölmesini sağlayan kaç
(a, b) tam sayı ikilisi vardır?
(UİMO - 2009)

A) 36 B) 37 C) 63 D) 73 E) Hiçbiri

ÇARPANLARA AYIRMA (En Mühim Alışveriş)
37 nin 1 + 7a + 8b + 19ab ifadesini bölmesi 37ab fazlasını da bölmesi anlamına gelir. Çarpanlara
Çözüm
ayrılabilir bir ifade elde edebilmek için böyle düşündük. 1 + 7a + 8b + 19ab + 37ab yi çarpanlarına
ayıralım. 1 + 7a + 8b(1 + 7a) dan (1 + 7a)(1 + 8b) olur. Bu durumda iki çarpandan en az biri 37
ile bölünmelidir. 1 + 7a nin 37 nin katlarına eşitlenmesiyle (148 için) sadece a = 21 olabileceği
görülür. Buna göre, b nin de tamsayı değerleri için (21, 1), (21, 2), (21, 3), . . . (21, 37) olmak üzere
37 ikili elde edilir. 1 + 8b nin 37 nin katlarına eşitlenmesiyle (185 için) sadece b = 23 olabileceği
görülür. Bu durumda (1, 23), (2, 23), (3, 23), . . . (37, 23) olmak üzere 37 ikili elde edilir. Toplamda
74 ikiliden (21, 23) ikilisi iki defa sayıldığı için 37 nin 1 + 7a + 8b + 19ab yi bölmesini sağlayan 73
tane (a, b) tam sayı ikilisi vardır.
Cevap: D

60 ALTIN NOKTA