Page 68 - og_2_olimpiyat

Örnek
2
3
15
36 Aşağıdakilerden hangisi 1 + n + n + n + . . . + n ifadesinin çarpanlarından biridir?
A) n - 1 B) n + 1 C) n + 1 D) n + 1 E) n + 1
3
2
6
5
İfade birkaç hamle gruplandırma ile de çarpanlara ayrılabilir. Biraz kestirme bir yol takip edelim.
Çözüm
(n − 1)(n + n + n + + n + n 1 ) n 16 − 1
15
2
13
14
+
...
Verilen ifade n - 1 ile çarpılır ve bölünürse =
(n − 1) (n − 1)
3. Bölüm
16
olur. Bu durumda n - 1 iki kare farkı ile çarpanla ayrılır; n - 1 = (n - 1)(n + 1) den devamla
8
8
16
8
4
2
(n - 1)(n + 1) (n + 1)( n + 1) ( n + 1) olur.
k
3
2
Buna göre 1 + n + n + n + . . . + n + . . . + n ifadesinin çarpanları
15
8
4
(n + 1), (n + 1), (n + 1) ve (n + 1) dir.
2
Cevap: B
Örnek
15
37 7 + 1 sayısının 24 ile bölümünden kalan kaçtır?
15
13
2
14
12
7 + 1 = (7 + 1)(7 - 7 + 7 - . . . + 7 - 7 + 1) dir. Dolayısı ile 8 e tam bölünür. 7 sayısının 3 e
Çözüm
15
bölümünden kalan 1 olduğu için 7 nin kuvvetleri de 3 e bölündüğünde 1 kalır. Bu sebeple 7 + 1 in
15
3 ile bölümünden kalan 2 dir. Sonuç olarak 7 + 1 sayısının 24 ile bölümünden (8 e tam bölünüp
3 ile bölümünden kalan 2 olduğu için) kalan 8 dir.
iii. Üç Terimliler
ÇARPANLARA AYIRMA (En Mühim Alışveriş)
A ≠ 0 ve ABC,, ∈ olmak üzere Ax + Bx + C biçimindeki ifadelerin çarpanlarını bulmak için iki durum
2
ele alalım.
2
A = 1 olsun: Bu durumda x + Bx + C ifadesinin çarpanlarını arıyoruz. Bu ifade (x + n) (x + m) biçiminde
çarpanlara sahip olmalıdır. Bu çarpımı yaptığımızda x + nx + mx + nm elde edilir ki sonuç olarak
2
n + m = B ve nm = C olması gerektiği anlaşılır.
O halde x + Bx + C üç terimlisinin çarpanlarını bulmak istiyorsan çarpımları nm = C ve toplamları da aynı
2
anda n + m = B eşitliğini sağlayan n ve m sayı değerlerini bulmalısın.
Bu şekilde değerler için x + Bx + C = (x + n) (x + m) yazılabilir.
2
A, 1 den farklı olsun: Bu durum için Ax + Bx + C ifadesinin (px + n) (qx + m) biçiminde
2
çarpanları olması beklenir. O halde pqx + pmx + qnx + nm = Ax + Bx + C den A = pq,
2
2
C = nm olacak şekilde uygun dizilişte yazılım sayesinde çarpanlar bulunur. Bu biraz karışık
geldi bana(!) Gel, istersen ekrana gelecek olan özet ile bu anlatımı sadeleştirelim.
• A = pq ve C = nm olmak üzere, pm + qn = B ise Ax + Bx + C üç terimlisi
2
2
Ax + Bx + C = (px + n) (qx + m) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
px n
qx m
• A = 1 için C = nm olmak üzere, n + m = B ise x + Bx + C üç terimlisi x + Bx + C = (x + n) (x + m)
2
2
şeklinde çarpanlarına ayrılır.
x n
x m
68 ALTIN NOKTA