Page 69 - og_2_olimpiyat

Örnek x + x + 1 x − 1
2
3
38 2 : 2 ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden han-
2 x + 5 x 2 x + 3 x − 5
gisidir? 3. Bölüm
(Mat-II - 2007)

1 1 1
A) B) C) D) x E) x + 1
x 2 - x 1 + x
2
Çözüm İfadede geçen x + x + 1 çoğu kez, zorunlu sebep karşımıza çıkmadı ise aynen bırakılır (çarpan-
lara ayrılmaya çalışılmaz) Çünkü x + x + 1 ifadesi iki küp farkının bir çarpanı olduğu için aynen
2
kullanılıp çarpanlara ayrılmaz. Bu girişle beraber devam edelim. Diğer üç terimli ile birlikte geriye
−
2
x + x + 1 ( 2 x + 5 )( x 1)
kalan ifadeler çarpanlarına ayrılarak sadeleştirmeler yapılır. x ( 2 x + 5 ) . ( x − 1)( x + x + 1)
2
1
den ifadenin sadeleştirilmiş biçimi tir.
x
Cevap: A
Örnek 4n 2n+1
39 Aşağıdakilerden hangisi 5 - 5 + 4 ifadesinin çarpanlarından biri değildir? ÇARPANLARA AYIRMA (En Mühim Alışveriş)

A) 5 - 1 B) 5 + 1 C) 5 - 4 D) 5 + 4 E) 2 - 5 n
n
n
2n
2n
2
2
2n
2n
İfade (5 ) - 5.5 + 4 biçiminde düşünülür. 5 = x olarak alındığında x - 5x + 4 şeklinde bir üç
2n
Çözüm
2n
4n
terimli ifadenin çarpanları aranır. Buna göre, 5 - 5 2n+1 + 4 = ( 5 - 1) (5 - 4) olur. Bu çarpanlar
2n
n
n
da iki kare farkı ile (5 - 1) (5 + 1) (5 - 2) (5 + 2) biçiminde çarpanlara ayrılır.
n
n
Seçeneklerden 5 + 4 bu çarpanlardan biri değildir.
2n
Cevap: D
Örnek
40 x - x - 14 32 ifadesinin asal sayı değeri ile bu değeri almasını sağlayan x değerinin
toplamı kaçtır?
x - x - 14 32 İfadesinin bir asal sayı olabilmesi için çarpanlarından biri 1 olmalıdır. Bu durumda
Çözüm
x − 14 x − 32 =( x − 16)( x + 2) eşitliğinden ñx + 2 = 1 olamayacağı için ñx - 16 = 1 dir. Buna
göre ñx = 17 ve ñx + 2 = 19 olup x = 289 dur. Bu x değeri için ikinci çarpan dolayısı ile ifade asal
sayı bulunmasa problem iyi düzenlenmemiş sonucuna varırdık. Sonuç olarak ifadenin asal sayı
değeri ile x değerinin toplamı 19 + 289 = 308 dir.

Örnek 2 2
41 2n + 5nm - 12m = 28 eşitliğini sağlayan kaç (m, n) pozitif tam sayı ikilisi vardır?
(UİMO - 2006)

A) 0 B) 1 C) 2 D) 4 E) Sonsuz çoklukta

ALTIN NOKTA 69