Page 67 - og_2_olimpiyat

3
m
2
m
Çözüm Denklemi 3 = n + 1 biçiminde yazıp çarpanlarına ayıralım. 3 = (n + 1)(n - n + 1) eşitliğinde
+
çarpanlar 3 ün bir kuvveti olmalıdır. Buna göre, n = 2, 8, 26, . . . , 3k - 1 biçiminde ve k ∈
olacaktır. Ancak n = 2 dışındaki tüm n = 3k - 1 sayıları için n - n + 1 = n(n - 1) + 1 ifadesinde 3. Bölüm
2
2
2
(3k - 1)(3k - 2) + 1 = 9k - 6k - 3k + 2 + 1 den 3(3k - 3k + 1) elde edilir. Buna göre, 3k - 3k + 1
2
çarpanı 3 ün kuvveti olamaz. Sonuç olarak (2, 2) olmak üzere denklemi sağlayan sadece 1 tane
(m, n) pozitif tam sayı sıralı ikilisi vardır.
Cevap: C
Örnek 2
34 3n + 3n + 7 sayısının tam küp olmasını sağlayan kaç n pozitif tam sayısı vardır?
(UMO - 2002)
A) 0 B) 1 C) 3 D) 7 E) Sonsuz çoklukta

3
3
2
2
Çözüm 3n + 3n + 7 = x olsun. 3n + 3n + 6 + 1 = x den ÇARPANLARA AYIRMA (En Mühim Alışveriş)
3(n + n + 2) = x - 1 = (x - 1)(x + x + 1) eşitliği elde edilir. Eşitliğin sol tarafı 3 çarpanı içerdiği
2
2
3
+
n
için sağ tarafında da 3 çarpanı olmalıdır. Buna göre, x = 1, 4, 7, . . . , 3k + 1 ve k∈ ∈ olur. Bu x
2
değerleri için x - 1 çarpanı 3 ün bir katı olduğu gibi x + x + 1 = x(x + 1) + 1 çarpanı da
2
2
( (3k + 1)(3k + 2) + 1 = 9k + 6k + 3k + 2 + 1 = 3(3k + 3k + 1) ) 3 ün bir katıdır.
2
Bu durumda n + n + 2 ifadesi 3 çarpanı içermelidir. Ancak n sayısı (Tüm tamsayıları bu üç form-
dan biri olarak yazabiliriz); ister 3k, ister 3k + 1, istersen 3k + 2 olsun n + n + 2 ifadesi 3 ün bir katı
2
olamaz ve 3 çarpanı içermez. x için az önce yapılan işleme benzer olarak sen de işlemler yaparak
2
bu neticeye varabilirsin. (En kolay olanı ben yapayım; n + n + 2 ifadesinde n = 3k yazılırsa
2
2
9k + 3k + 2 olur ki 3 e bölünmez, 3 ile bölümünden 2 kalanı elde edilir) Sonuç olarak 3n + 3n + 7
sayısının tam küp olmasını sağlayan hiç bir n pozitif tam sayısı yoktur. (0 tane)
Cevap: A
c) a - b ve a + b Genellemeleri
n
n
n
n
n tek doğal sayı olmak üzere,
2
n
a + b = (a + b) (a n - 1 - a n - 2 . b + a n - 3 . b - . . . - a . b n - 2 + b n - 1 ) ve
n
tüm n doğal sayıları için
n
a - b = (a - b) (a n - 1 + a n - 2 . b + a n - 3 . b + . . . + a . b n - 2 + b n - 1 ) dir.
n
2
Örnek
35 Aşağıdaki ifadelerin, buradaki genellemeler yardımı ile çarpanlara ayrılışını inceleyiniz.
3
5
4
• x + 1 = (x + 1) ( x - x + x - x + 1)
2
5
4
• b - 1 = (b - 1) ( b + b + b + b + 1)
2
3
2
2
4
14
6
10
8
12
• 128 - n = (2 - n ) (64 + 32n + 16n + 8n + 4n + 2n + n )
ALTIN NOKTA 67