Page 64 - og_2_olimpiyat

Örnek x ve y tam sayı olmak üzere, x - y = 1996 eşitliğini sağlayan kaç (x, y) sıralı ikilisi
2
2
24
vardır?
(UMO - 1996)
A) 12 B) 6 C) 4 D) 0 E) Sonsuz sayıda

3. Bölüm

2
2
Çözüm x - y = (x - y)(x + y) ve iki kare farkının çarpanları toplamı ya da farkı (2x ile 2y) çifttir. Bu du-
rumda 1996 sayısının (ikisi de tek çarpanı olmadığından) ikisi de çift çarpanları için x - y = 1996
2
2
eşitliği sağlanır. Buna göre, x - y ile x + y çarpanlarının eşitleneceği ikililer; (2, 998), (998, 2),
(-2, -998) ve (-998, -2) dir. Her ikili için farklı bir (x, y) sıralı ikilisi bulunur.
Sonuç olarak (500, 498), (500, -498), (-500, -498) ve (-500, 498) olmak üzere eşitliği sağlayan
4 tane (x, y) tam sayı sıralı ikilisi vardır.
Cevap: C

Örnek k sayısının aşağıdaki değerlerinden hangisi için x - y = k eşitliğini sağlayan (x, y) tam
2
2
25
sayı ikilisi yoktur?
(UMO - 2005)
A) 2005 B) 2006 C) 2007 D) 2008 E) 2009

ÇARPANLARA AYIRMA (En Mühim Alışveriş)
Çözüm Bir önceki Örnekde olduğu gibi iki kare farkının çarpanları toplamı ya da farkı çift olduğu için k
sayısının iki tek ya da iki çift çarpanı olmalıdır. Seçeneklerde bulunan k değerlerinden 2005, 2007
ve 2009 un iki tek çarpanı (en azından 1 ve k), 2008 in ise iki çift çarpanı (4 e tam bölünen sayı-
ların iki çift çarpanı) vardır. Ancak 2006 sayısının iki tek ya da iki çift çarpanı olmadığından k nın
2
bu değeri için x - y = k eşitliğini sağlayan (x, y) tam sayı ikilisi yoktur.
2
Cevap: B

Örnek
26 Kaç farklı k gerçel sayısı için k − 11 ve k + 64 sayılarının her ikisi de tam sayı
olur?
(UİMO - 1999)

A) 3 B)2 C) 1 D) 0 E) Hiçbiri

Çözüm a ve b birer pozitif tam sayı olmak üzere, k − 11 = a ve k + 64 = b olsun. Bu durumda
a = k - 11 ve b = k + 64 dür. O zaman b - a = k + 64 - k - (-11) = 75 tir.
2
2
2
2
Burada (b - a)(b + a) = 1.75 = 5.15 = 3.25 olabilir. b - a + b + a = 1 + 75 den 2b = 76 ve b = 38
bulunur. Benzer biçimde b - a + b + a = 5 + 15 den 2b = 20 ve b = 10,
son olarak b - a + b + a = 3 + 25 den 2b = 28 ve b = 14 bulunur. Bu üç b (ya da a) değeri kullanı-
larak (k = 1380, k = 36 ve k = 132) 3 farklı k sayısı için k − 11 ve k + 64 sayılarının her ikisi
de tam sayı olur.
Cevap: A

64 ALTIN NOKTA