Page 70 - og_2_olimpiyat

2
2
Çözüm 2n + 5nm - 12m üç terimlisi (2n - 3m) (n + 4m) biçiminde çarpanlarına ayrılır.
2n -3m
8nm - 3nm = 5nm
n 4m
(2n - 3m) (n + 4m) = 28 eşitliğinde n + 4m çarpanı (n ve m birer pozitif tam sayı olduğu için)
7, 14 ya da 28 olmalıdır. n + 4m = 7 iken 2n - 3m = 4 ten (ilk denklemin 2 katı ikinci denklemden
çıkarılarak) n ve m tam sayı olmaz. Aynı şekilde n + 4m = 14 ve 2n - 3m = 2 den n ve m yine tam
3. Bölüm
sayı bulunmaz. n + 4m = 28 iken 2n - 3m = 1 den ise (ilk denklemin 2 katı ikinci denklemden çıka-
rılarak)11m = 55 bulunduğu için m = 5 ve n + 4 . 5 = 28 den n = 8 bulunur. Sonuç olarak problemde
verilen eşitliği (5, 8) ikilisi olmak üzere 1 (m, n) pozitif tam sayı ikilisi sağlar.
Cevap: B

Örnek 2x + 17xy + 35y = 315 eşitliğini sağlayan kaç (x, y) tam sayı ikilisi vardır?
2
2
42
(UİMO - 2010)
A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8

2x + 17xy + 35y üç terimlisi
2
2
Çözüm
2x 7y
x 5y
10xy + 7xy = 17xy olduğu için (2x + 7y) (x + 5y) biçiminde çarpanlara ayrılır.
Bu durumda (2x + 7y) (x + 5y) = 315 eşitliği vardır. Bu çarpanlar toplamı 3x + 12y olduğu için 3 e
tam bölünür. Buna göre 315 in çarpanlarından, toplamı 3 e bölünebilen ikili çarpanları inceleriz.
ÇARPANLARA AYIRMA (En Mühim Alışveriş)
Bunlar; (3, 105), (15, 21), (105, 3), (21, 15), (-21, -15), (-105, -3), (-3, -105) ve
(-15, -21) dir. Bu ikililerin her biri incelenirse her ikili için bir (x, y) tam sayı ikilisi bulunabildiği
görülür. Sonuç olarak eşitliği sağlayan 8 tane (x, y) tam sayı ikilisi vardır.
Cevap: E

Örnek 2 2
43 n nin aşağıdaki değerlerinden hangisi için a + ab - 6b = n eşitliğini sağlayan a, b tam
sayıları bulunur?
(UMO - 2004)
A) 17 B) 19 C) 29 D) 31 E) 37

2
2
Çözüm a + ab - 6b = n eşitliğindeki ifadeyi çarpanlarına ayırarak yazalım.
a 3b
a -2b
- 2ab + 3ab = ab den eşitlik (a + 3b)(a - 2b) = n olur. Buradaki çarpanların farkı 5b
olduğu için çarpanları farkı 5 in katı olan n değerleri için b ve a tam sayıları bulunabilir. Seçenek-
lerden, hepsi asal olduğu için (çarpanlar 1 ve sayının kendisi) sadece 31 sayısına ait çarpanlar
farkı 5 in katıdır. Buna göre n in 31 değeri için a + ab - 6b = n eşitliğini sağlayan a, b tam sayıları
2
2
bulunur.
Cevap: D

70 ALTIN NOKTA