Page 76 - og_2_olimpiyat

Örnek a x + x - 25 + 4 - 4ax = 0 denkleminin en az bir gerçel çözümünün olmasını sağ-
2 2
50
layan a değeri nedir?
(UİMO - 1998)
5 2
A) ñ5 B) C) ñ2 D) E) Hiçbiri
5 2

3. Bölüm
2 2
2
Çözüm Eşitliği a x - 4ax + 4 + x - 25 = 0 dan (ax - 2) + x - 25 = 0 biçiminde düzenleyebiliriz.

(ax - 2) ve x - 25 negatif olamaz. Bu durumda en az bir çözüm olması için x - 25 = 0
2
olmalıdır. Buna göre x = 2ñ5 ve (ax - 2) = 0 dan 2ñ5 . a - 2 = 0 olur. Sonuç olarak 2ñ5 . a = 2
2
1 5
dan a = = dir.
5 5 Cevap: B
Örnek
2
2
51 9x + y - 6x - 12y + 15 ifadesinin alabileceği en küçük değer için xy kaçtır?

İfadeyi düzenleyip tam kareler elde ederek istenen bulunabilir. Çözüm bu, çünkü önceki Örnek-
Çözüm
lerde de gördüğün gibi tam kare ifadelerin alabileceği en küçük değer sıfır olduğu bilgisinden ha-
reketle bu problem türü hazırlanmış. Buna göre, 9x - 2 6x+1 + y - 2 12y + 36 - 22 biçiminde

(3x - ) 1 2 (y - 6) 2
ifadeyi düzenleriz ve burada gördüğümüz tam kare ifadeler sıfır iken ifade en küçük değerini (-22)
ÇARPANLARA AYIRMA (En Mühim Alışveriş)
1
alır. Bu durumda 3x - 1 = 0 dan x = ve y - 6 = 0 dan y = 6 olup xy = 2 dir.
3

Örnek x ve y gerçel sayıları,
52
2x - 3y = - 1 ve y - 4x = 7 eşitliklerini sağlıyorsa, x + y kaçtır?
2
2
3
(UİMO - 2009)
7 5 3 1
A) B) C) D) E) Hiçbiri
2 4 2 4
2
2
Çözüm İlk eşitliğin iki katı alınıp ikinci eşitlik ile toplanırsa 4x - 6y + y - 4x = -10 olur. Düzenleyelim.
1
2
2
2
4x - 4x + 1 + y - 6y + 9 = 0 devamında (2x - 1) + (y - 3) = 0 elde edilir. Buradan x = 2 ve
2
1 7
y = 3 olup x + y = 3 + = dir.
2 2
Cevap: A
Örnek
2
2
53 2x + 4xy + 5y = 4x - 2y - 5 eşitliğini sağlayan (x, y) gerçel sayı ikilisi nedir?
Eşitliği 2x + 4xy + 5y - 4x + 2y + 5 = 0 biçiminde toparladıktan sonra tam kare ifadeler elde
2
2
Çözüm
edecek şekilde x + 4xy + 4y + x - 4x + 4 + y + 2y + 1 = 0 düzenleyelim.
2
2
2
2
Bu durumda eşitliğimiz (x + 2y) + (x - 2) + (y + 1) = 0 olur. Buradan x = -2y = 2 ve sonuç olarak
2
2
2
eşitliği sağlayan (x, y) ikilisi (2, -1) dir.
76 ALTIN NOKTA