Page 81 - og_2_olimpiyat

Örnek x ve y pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x + y + x 2 + y 2 =18= 40 ise, x + y 2 nedir?
2
65 y x y 2 x 2 xy 3. Bölüm

x 2 + y 2 =  x + y  2 − x + y  x + y  2
+
= 40
Çözüm y 2 x 2   y x   2 olduğu için verilen eşitlik y x   y x   −=218 şeklindedir. Bu durumda

x + y ortak parantezine alıp   x + y  x + y +1   =20 42 den x + y nin pozitif değeri (kendisi ile 1

y x  y x  y x  y x
2
x + y 2 x y x y
2
2
fazlasının çarpımı 42 olduğuna göre) 6 olur. Buna göre, = + = + olduğu için
2
x + y 2 = 6 dır. xy xy xy y x
xy
Örnek 1 1
66 a + a = 2ñ5 olduğuna göre, a - a nın pozitif değeri kaçtır?

1 1
a + ve a - ifadelerinin kare açılımları benzer terimler içerir. Kare açılımları benzer olan bu
Çözüm a a ÇARPANLARA AYIRMA (En Mühim Alışveriş)
 1  2  1  2
iki ifade için a +  −  a −  = 4 yazılabileceğini kolayca görebilirsin.

 a   a 
 1 2  2  1  2  1  2  1  2 1
Buna göre, (2ñ5) - −  a −  = 4 den 20 - 4 = a+  −  −  ve buradan a - = 4 olur.
a +
a



 a   a   a   a  a
Örnek 1 1
67 x pozitif bir reel sayı ve 3x - x + 2 = ò37 - 6 olduğuna göre, 3x + x + 2 kaçtır?
1 1
3x - = ò37 - 6 den 3(x + 2) - = ò37 yazabiliriz. Bu eşitliğin kare açılımından da
Çözüm x + 2 x + 2
 1  2  1  2  1  2
2
2
9(x + 2) +   = 3(x + 2) −  + 6 elde edilir. Buna göre, 9(x + 2) +   = 43 tür.

 x + 2   x + 2   x + 2 
 1  2  1  2  1  2
Aynı anda 9(x + 2) +   = 3(x + 2) +  - 6 olduğu için 43 + 6 = 3(x + 2) +  ve
2


 x + 2   x + 2   x + 2 
1 1
buradan 7 = 3x + 6 + olup 3x + = 1 dir.
x + 2 x + 2
Örnek 9
2
2
68 2a - 5a + 6 = 0 olduğuna göre, a + a 2 kaçtır?

9 3 3
a + nın değerini bulmak a - ya da a + nin bilinmesi durumunda kolay olur. Zaten prob-
2
Çözüm a 2 a a

lemin hazırlanışı da bu mantık ile olduğu için ilk bilgi üzerinde düzenleme yapalım. Eşitliği 2a ile
2a 5a 6 0 3 5
2
sadeleştirelim. Buna göre - + = dan a + = olur. Böylece kare alma işlemi
2a 2a 2a 2a a 2

2
ile elde edilen a + 9 = a + 3   2 - 6 eşitliğinden a + 9 = 25 - 6 ile 1 bulunur.
2

a 2  a  a 2 4 4
ALTIN NOKTA 81