Page 77 - og_2_olimpiyat

Örnek 2 2
54 a + a + 34 = b eşitliğini sağlayan kaç (a, b) pozitif tam sayı ikilisi vardır?
(UİMO - 2012)

A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0 3. Bölüm

Çözüm Daha pratik olarak tam kare elde edebilmek için eşitliğin 4 katını alıp düzenleyelim.
2
2
4a + 4a + 1 + 135 = 4b den (2b) - (2a + 1) = 135 olur.
2
2
Buradan (2b + 2a + 1)(2b - 2a - 1) = 135 elde edilir. Çarpanlar toplamı 4b olduğundan 135 in
çarpanlarından toplamı 4 ün katı olan (135, 1), (45, 3), (27, 5) ve (15, 9) ikilileri için a ve b pozitif
tam sayı olacaktır. Buna göre, (33, 34), (10, 12), (5, 8) ve (1, 6) olmak üzere 4 tane (a, b) pozitif
tam sayı ikilisi vardır.
Cevap: A

Biraz da tam küp açılımlarına bakalım. Her ne kadar gezegenimde tam kare açılımları
kadar sık karşılaşmayacak olsan da ihmale gelmez. Hatta nadiren karşına çıkacağı için
daha temkinli olmanda yarar var. Çünkü aniden karşına çıkar ve hazırlıksız
yakalarsa biraz can sıkıcı olabilir. En iyisi ne zaman nerede karşılaşacağımızı bileme-
diklerimize hep hazırlıklı olmaya çalışmak. ÇARPANLARA AYIRMA (En Mühim Alışveriş)

b) Tam Küp Açılımları

(a + b) = a + 3a b + 3ab + b 3 (a - b) = a - 3a b + 3ab - b 3
3
2
2
3
2
3
2
3
Örnek
55 Aşağıdaki küp açılımlarını inceleyin.
3
3
2
• (x + 1) = x + 3x + 3x + 1
2
3
• (x - 1) = x - 3x + 3x - 1
3
3
2
3
2
2
2
3
3
• (m + 2n) = m + 3m . 2n + 3m . (2n) + (2n) = m + 6m n + 12mn + 8n 3
3
2
3
2
• (m + ñ5 ) 3 = m + 3m . ñ5 + 3m . (ñ5) + (ñ5) = m + 3ñ5 m + 15m + 5ñ5
3
2
Örnek
3
2
56 x + 3xy = 76
y + 3x y = -49 olduğuna göre xy çarpımı kaçtır?
3
2
Verilen eşitlikleri topladığımızda x + 3x y + 3xy + y = 27 = (x + y) den x + y = 3 olur. İlk eşitliği
3
2
2
3
3
Çözüm
ikinciden çıkardığımızda x - 3x y + 3xy - y = 125 = (x - y) den x - y = 5 olur. Bu durumda
3
2
3
3
2
x + y = 3 ve x - y = 5 denklemlerinden 2x = 8, x = 4 ve y = -1 olup xy = -4 tür.
ALTIN NOKTA 77