Page 78 - og_2_olimpiyat

Örnek
3
3
3
3
57 (a + b + c) - (a + b + c ) ifadesinin eşitini bulunuz.
(a + b + c) = ((a + b) + c) = (a + b) + 3(a + b) . c + 3(a + b) . c + c biçiminde küp açılımı yapalım.
3
3
3
2
2
3
Çözüm
((a + b) + c) = a + 3a b + 3ab + b + 3(a + b) . c + 3(a + b) . c + c olur. Bu eşitliği verilen ifade
3
3
2
3
2
2
3
2
içerisinde kullanarak a , b ve c küplerden kurtuluruz. İşlemin devamı olarak
3
3
3
3. Bölüm
2
3ab(a + b) + 3(a + b) .c + 3(a + b) . c ifadesi elde edilir ki bu çarpanlarına ayrılabilir bir ifade olup
2
3(a + b)(ab + (a + b)c + c ) elde edilir. Biraz daha çalışalım. 3(a + b)(ab + ac + bc + c ) den
2
2
3(a + b)(a(b + c) + c(b + c)) olur.
3
3
3
3
Sonuç olarak (a + b + c) - (a + b + c ) = 3(a + b)(a + c)(b + c) gibi güzel bir özdeşlik elde edilir.
Özdeşlik: değişkenlere verilen tüm değerler için doğru olan eşitliklere denilir.
Bu arada tam kare ve tam küp açılımını da içeren genel bir açılım yönteminden bahsedeyim. Bu yöntemi
'Pascal Üçgeni' olarak da adlandırırız. Daha geniş olarak 'Binom Açılımı' başlığı altında keşfedebileceğin
bu yöntemin basit biçimde kullanımını burada görelim.
n
(a + b) açılımındaki katsayılar; Aşağıdaki üçgende, her satırda bulunan komşu iki değerin toplamı bir
alttaki sayıyı vermektedir. Bu şekilde düzenlenen sayı dizisinin her bir satırında n = 0, 1, 2, 3, . . . değer-
leri için açılıma ait katsayılar bulunur.
1 n = 0 (a + b) = 1
0
1 1 n = 1 (a + b) = 1 . a + 1 . b
1
1 2 1
ÇARPANLARA AYIRMA (En Mühim Alışveriş)
n = 2 (a + b) = 1 . a + 2 . ab + 1 . b 2
2
2
1 3 3 1
n = 3 (a + b) = 1 . a + 3 . a b + 3 . ab + 1 . b 3
3
3
2
2
1 4 6 4 1
4
2 2
3
4
3
1 5 10 10 5 1 n = 4 (a + b) = 1 . a + 4 . a b + 6 . a b + 4 . ab + 1 . b 4
1 .. . .. 1 (a + b) = 1 . a + 5 . a b + 10 . a b + 10 . a b + 5 . ab + 1 . b 5
2 3
3 2
4
5
5
4
Örnek
3
2
3
2
58 a = 2017 ve b = 2023 olduğuna göre, a - 3.a b + 3.ab - b işleminin sonucu kaça
eşittir?
İşlem yapmayı göze alarak elbette sonuç bulunabilir. Dikkatle bakıp aslında istenilen işlemin
Çözüm
(a - b) olduğunu fark ettiğinde ise sonucu bulmak daha kolay.
3
Buna göre, 2017 - 3 . 2017 . 2023 + 3 . 2017 . 2023 - 2023 işleminin sonucu (2017 - 2023) den
3
3
2
2
3
-6 = -216 dır.
3
78 ALTIN NOKTA