Page 82 - og_2_olimpiyat

Örnek
3
3
69 ab = 5 ve a - b = 6 olduğuna göre, a - b farkı kaçtır?

3
3
3
a - b = (a - b) + 3ab(a - b) özdeşliğinden a - b = 6 + 3.5.6 = 306 dır.
3
3
3
Çözüm
3. Bölüm
Örnek 2 8
3
70 x + = 5 olduğuna göre, x + kaçtır?
x x 3
8  2  3  2  8
x + =  x + − 32 .. x + den x + = 5 − 3 25=.. 95 dir.
3
3
3
Çözüm x 3  x     x   x 3
Örnek 3 3 3
71 x = 11 + 337 + 11 − 337 olduğuna göre, x + 18x kaçtır?
(UMO - 2009)

A) 22 B) 20 C) 11 D) 10 E) 24

3
3
Çözüm x = 11 + 337 = a ve 11 − 337 = b olsun.
Bu durumda, a + b = 11 + ó337 + 11 - ó337 = 22,
3
3
ab = (11+ 337 )(11− 337 ) = 3 121 337 den ab = -6 ve a + b = x olur.
−
3
3
3
3
3
a + b = (a + b) - 3ab(a + b) den 22 = x - 3.(-6) . x sonuç olarak x + 18x = 22 dir.
3
ÇARPANLARA AYIRMA (En Mühim Alışveriş)
Cevap: A
Örnek
3
3
72 a - b - 3ab = 1 eşitliğini sağlayan a ve b reel sayıları için a - b nin alabileceği değer-
ler çarpımı kaçtır?
a - b = (a - b) + 3ab(a - b) özdeşliğini kullandığımızda eşitlik (a - b) + 3ab(a - b) - 3ab - 1 = 0
3
3
3
3
Çözüm
olur. Bu durumda a - b = x olmak üzere x - 1 + 3abx - 3ab =0 dan (x - 1)(x + x + 1) + 3ab(x -1) = 0
2
3
ve (x - 1)( x + x + 1 + 3ab) = 0 elde edilir. Buna göre ya x - 1 = 0 dan x = a - b = 1 olmalıdır. Ya da
2
x + x + 1 + 3ab = 0 dan (a - b) + a - b + 1 + 3ab = 0 ve a + b + ab + a - b + 1 = 0 olmalıdır. Bu
2
2
2
2
son eşitliğin 2 katı alınıp a + b + 2ab + a + 2a + 1 + b - 2b + 1 = 0 biçiminde düzenlenirse hayret
2
2
2
2
uyandıracak güzellikte (a + b) + (a + 1) + (b - 1) = 0 olur ki b = -a = 1 için eşitlik sağlandığından
2
2
2
a - b = - 1 - 1 = -2 dir.
Sonuç olarak a - b nin alabileceği değerler çarpımı 1 . (-2) = -2 dir.

82 ALTIN NOKTA