Page 127 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI
P. 127
100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ
4.1 Merkezil Benzerlik ve Benzer Üçgenler
İlk önce benzerliğin tanımı için Aşağıdaki şartlar sağlandığında; A' noktasına, A noktasının O ya göre merkezil benze-
merkezil benzerliği göreceğiz. ri denir.
(Şunu belirtmeliyiz ki merkezil
benzerliğin sadece tanımını 1) A' noktası, OA doğrusu üzerindedir.
göreceğiz.) Sonra da üçgende 2) Verilen (sıfırdan farklı) k sayısı için, IOA'I=k.IOAI dır.
alan vb. konulara geçerek 3) k>0 olduğunda; O noktası [AA'] doğru parçasının dışında, k<0 olduğunda;
devam edeceğiz.
O noktası [AA'] doğru parçasının içindedir.
Merkezil benzerliğin temel
özellikleri; O Bir düzlemin her A noktası-
nı, O merkezine ve bütün
1) O merkezinden geçmeyen bir
doğru üzerinde bulunan [AB] A' A' noktalar için sabit olan k
doğru parçası; [AB] ye paralel sayısına göre, A' merkezil
ve uzunluğu IA'B'I=kIABI ile A A benzerliğine dönüştüren bir
belirli bir [A'B'] doğru parçası- B'
na dönüşür. D D' dönüşüme, düzlemin bir
2) Merkezil benzerlik, bir doğru- O A'' merkezil benzerliği adı veri-
yu kendisine paralel olan bir C lir. O merkezine benzerlik
doğruya dönüştürür. B B B'' O'' merkezi ve k sayısına da
C'
3) Doğrular arasındaki açının B' benzerlik katsayısı denir.
değeri korunur yani değişmez.
(Ressamlar tarafından
4) Merkezil olarak benzer olan resimleri istenilen oranda
her şekil çiftinde; karşıt doğru
parçaları orantılı, karşıt açılar büyültmek ya da küçültmek
ise birbirine eşittir. de bu değil midir zaten?)
O'
5) Merkezil bir benzerlikte, elde
edilen şeklin alanının, verilen
şeklin alanına oranı benzerlik
katsayısının karesine eşittir. Merkezil benzerliğin tanımından faydalanıp, benzer üçgenleri inceleyelim:
* İki üçgenin köşeleri arasında yapılan bire bir eşlemede, karşılıklı açılar eş ve kenar uzunlukları
6) İkişer ikişer benzer olan üç orantılı ise bu iki üçgene benzer üçgenler denir.
şeklin benzerlik merkezleri
aynı doğru üzerindedir. ABC ve A'B'C' üçgenleri için; s(A)=s(A'), s(B)=s(B'), s(C)=s(C') ve
7) Eşit olmayan ve eşmerkezli IABI:IA'B'I=IBCI:IB'C'I=IACI:IA'C'I=k ⇒ ABC ve A'B'C' üçgenleri benzer olur.
bulunmayan herhangi iki Bu benzerlik ABC ≈ A'B'C' şeklinde gösterilir.
daire, merkezil benzer olarak
düşünülebilir. * Benzer iki üçgenin kenar uzunlukları oranı, benzerlik oranıdır. Buradan şu sonucu çıkarabiliriz:
eş üçgenler de benzerdir ve benzerlik oranları da 1 dir.
* İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarlarının uzunlukları orantılı ve bu kenarlar arasında kalan açıla-
rı eş ise, bu iki üçgen benzer olur. Bu benzerliğe KAK Benzerliği denmektedir. Yani;
4.2 Üçgende Alan
Birim Alan: Kenar uzunluğu D D Bir çokgen ile bu çokgenin iç
E E
1 birim olan karenin kapladığı bölgesinin birleşimine Çok-
alana Birim Alan denir ve Çokgensel Bölge gensel Bölge denir.
1br 2 olarak ifade edilir.
B B
A
C A C
Bir çokgensel bölgeye, bir ve yalnız bir pozitif reel sayı karşılık gelir.
Bir Ç bölgesine karşılık gelen pozitif reel sayıya, Ç bölgesinin alanı denir ve A(Ç) ile gösterilir.
126
