Page 129 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

4.4 Pappus Teoremi

C C
A, B, C ve A', B', C' noktaları
doğrusal olmak üzere;
B B
AB'//BC' ve BA'//CB' ise
AA'//CC' olması gerekir. A A

O A' B' C' O A' B' C'
İspat:
1- Doğruların kesim noktası O olsun.

2- Hem oran var hem de ortak açı var; dolayısıyla (KAK) benzerliğinden AOA' ≈ COC' yazılabilir.
Bu yüzden AA'//CC' olur. (Söz konusu doğrular kesişmeyebilir; bu durumu size bırakıyoruz.)
Soru:
A
Herhangi bir üçgenin alanı; bu üçgenin bir kenar uzunluğu ile o kenara ait yüksek-
c b lik uzunluğunun çarpımının yarısına eşittir. Kanıtlayınız.
Çözüm:
B C
A 1- Dik üçgenin alanını biliyoruz (bir önceki sayfada ispa-
A
tını gördük). Bu bakımdan [AH] yüksekliğini çizelim.
c
b
B H C
a
B a C

Soru (2001 AİME):
Geniş açılı üçgende iki yük-
seklik üçgenin dış bölgesinde s(A)=60° ve s(B)=45° olan ABC üçgeninde; A açısının açıortayı [BC] kenarını T nokta-
olduğu halde, dar açılı üçgen- sında kesiyor. IATI=24 ise, A(ABC) nedir?
de bütün yükseklikler üçgenin
iç bölgesindedir.
Çözüm:
A A 1- ATC ikizkenar üçgeninde
IACI=24 olduğu gözükmekte-
30° 30° 12 60° dir. [CH] yüksekliği çizilirse,
H |AH|=12 ve |HC|=12ñ3 olur.
24
24
12 3 12 3
30°
45° 75° 45° 45°
B C B C
T
128