Page 155 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

Soru:
Bir kenarı 10 br olan ABC eşkenar üçgeninin kenarları üzerine içe doğru kurulan üç karenin
dışarda kalan kenarları uzatılarak DEF üçgeni oluşturuluyor. Buna göre IDEI kaç br dir?

Çözüm:
D A F D A F 1- KCL ve LNE üçgenleri 30°-60°-90°
üçgenleridir. Bu nedenle
R
B C B K 5 C
10 30°
10
L 3
N
30°
E E

Soru (1985 PUTNAM): Soru (1985 PUTNAM):
2
Alanı 1 br olan ABC dar açılı üçgeninin içerisinde, R alanlı R R R R dikdörtgeni; R ve R
A 1 2 3 4 1 2
köşesi [BC], R köşesi [AC] ve R köşesi [AB] kenarı üzerinde olacak şekilde alınıyor. Benzer
kc kb 3 4
şekilde başka bir S alanlı dikdörtgen ise, AR R üçgeni içerisinde alınıyor. R ve S alanları
3 4
R 4
R 3 toplamının maksimum olması için üçgen ve dikdörtgen nasıl seçilmelidir?
(1-k)b
c(1-k) Çözüm:
1- Benzer üçgenlerde alanlar oranı benzerlik oranının karesine eşittir. Yani
B R 1 H R 2 C
2
alınırsa, A(AR R )=k olur. Benzer düşünce ile,
A 3 4
2
2
hkb A(BR R )=(1-k) .A(BAH) ve A(CR R )=(1-k) .A(CAH) olacağı için
P 4 1 3 2
(1-h)kb 2 2
A(BR R )+A(CR R )=(1-k) .A(ABC)=(1-k) dir.
4 1 3 2
R 4 R 3
2
2
2- R=A(ABC)- A(AR R )-{A(BR R )+A(CR R )}=1-k -(1-k) =2k(1-k) olur.
(1-k)b 3 4 4 1 3 2
c(1-k)
3- Aynı şekilde olarak alınırsa, S=2h(1-h).A(AR R )=2h(1-h)k 2 olur.
3 4
B R 1 H R 2 C
A
S
Soru (2006 TÜRKİYE):
R 3
R
Bir ABC üçgeninin [BC] kenarı üstünde IBDI=2, IDCI=6 olacak şekilde bir D noktası
B C
bulunmaktadır. IABI=4 ve s(ACB)=20° olduğuna göre, s(BAD) nedir?
Çözüm:
A A A
4 4 4
20° 20°
B 2 D 6 C B 2 D B 8 C
1- Dikkatli bakılırsa hem B açısının ortak hem de IABI:ICBI=IBDI:IABI olduğu görülür. Bu
ABC ≈ DBA (KAK) anlamı taşır. Nitekim s(ACB)=20° ise s(DAB)=20° olur.
154