Page 217 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

Soru ( 2007 J.BALKAN ):
ABCD konveks dörtgeninde s(DAC)=s(BDC)=36°, s(CBD)=18° ve s(BAC)=72° dir.
A
Köşegenlerin kesim noktası P ise s(APD) kaç derecedir?
Çözüm:
18° 18° B B 1- s(ADB)=α alınırsa s(ABD)=72°-α,
s(ACB)=18°+α ve s(ACD)=108°-α olur.
5 + 1 5 + 1 72°- 18° ABCD dörtgeninde;
18° 18° 18°
72° A 72° A
36° 36°
P
72° 72° 18°+ 54° P
B 1 1 C C 108°- 72° 36°
−
sin18°= 1 = 5 1 36° C 36°
5 + 1 4 D D

Buradan s(APD)=108° bulunur.
Φ
36°
1 1 36°
Φ Φ Soru:
Φ
1 (30°;18°), (54°;30°), (72°,36°) açı çiftlerinin sinüsleri oranının Altın olduğunu gösteriniz.
36°
36°
Φ
Çözüm:
Penrose Mozaiği K 1- IACI=IABI=sin72° olan ABC altın
üçgeninin, [AC] kenarına -dışa doğru-
ACK eşkenarını eklersek
18° sin72°
sin72° KBA 42°-42°-96° ikizkenar üçgeni
C C elde edilir ve IACI=IAKI=sin72° olur.
s(CKB)=60°-42°=18° ve
sin72°
72° 60° s(CBK)=72°-42°=30° olduğu için
sin36° sin36° sinüs teoremi yardımıyla
36° 36°
A A
72° sin36° 72° 30°
sin72° T
B B
2- Altın üçgenin [CT] açıortayı çizilince, CAT 36°-36°-108° ikizkenarı ve ATCK deltoidi oluşur.
BTC ikizkenarında IBCI=ITCI=sin36° dir. KAT 30°-54°-96° üçgenine bakıyoruz;

216