Page 215 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

4.20 Altın Üçgen

Soru:
A B
x C y
[AB] doğru parçasının üzerin-
de alınan bir C noktası için Çözüm:

C noktası [AB] doğru parçasını
'Altın Oranlı Bölüyor' denir.
IACI=x ve ICBI=y olarak alınırsa
*** Bir ikizkenar üçgenden, bu üçgene benzer bir üçgen çıkartılıyor. Geriye kalan üçgen de bir
ikizkenar üçgen oluyorsa bu üçgene Altın Üçgen denir.
Tepe açısı 36° olan ikizkenar üçgen dar açılı altın üçgen, tepe açısı 108° olan ikizkenar üçgen
geniş açılı altın üçgendir. Düzgün bir beşgen içine yıldız biçimi bir üçgen çizilirse, altın oran doğal
olarak belirir. Ardışık Fibonacci sayılarının oranı, gittikçe altın orana yaklaşır.

A
D
denklemi elde edilir. 36°
1 E Q C A
Φ
1 36° 1
P
1 72° Φ− 1 Φ− 1
36° 36° 36°
36° 72° B 1 Φ− 1 C
B 1 C A B
IAQI = IAPI = IADI = Φ
IQDI IPQI IBCI

Bir doğru parçasını ikiye ayırırken uzun parçanın kısa parçaya oranı 1,618.... sayısına yaklaştık-
ça ayırma işlemi göze güzel gelecektir.

Soru:
Altın üçgenlerde uzun kenarın kısa kenara oranı Φ dir. Gösteriniz.

Çözüm:

A A 1- ABC altın üçgeninde IBCI=1 ve IABI=x olsun. [BD]
açıortayı çizildiğinde iç açıortay teoreminden,
36° 36°
1 1
x Φ
D D Ayrıca ABC üçgeninde sinüs teoreminden
1 72° 1 72°
−
x1 Φ− 1
36° 36°
36° 72° 36° 72°
B 1 C B 1 C
214