Page 218 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

4. BÖLÜM ÜÇGENLER - II

Soru:
α=s(DAB)
ABC üçgeninin [BC] kenarı üzerinde D noktası alınıyor; s(ABD)=24°, s(BAD)=30° ve
A
IABI=IDCI ise, s(ACB) kaç derecedir?(*)
30°
B 24° 54° C Çözüm:
1 D
A α A A
2 30° 2 30°
x 30°
β 24° 2-x E 24°
24° 54° B C B C
B C x D x C D 36°
y
D x 36° 36°
1 x x 18° 36°
H H
1 36° 36°
K K 18°
çözüm:1 çözüm:2 çözüm:3 L
Çözüm:1
1- sin54°:sin30°=Φ olduğundan ABD üçgeni altın oranlıdır.
2- IABI=x, IBDI=y alınırsa, IABI=IDCI verildiğinden, IBCI=IBDI+IDCI=x+y olur. Altın oran gereği;
ABD üçgeni altın iken, CBA üçgeni de altın oranlıdır. (B açısı ortak ve kenarlar orantılıdır, yani
Bu bir (KAK) benzerlik meselesidir.)
3- ABC altın oranlı üçgen ise, şekildeki harflendirmeye göre, hem α−β=24° olmalı hem de
sinα:sinβ oranı altın orana eşit olmalıdır. Dolayısıyla (α,β) açı çiftini, elimizdeki altın oranlı açı
çiftleri olan (30°;18°), (54°;30°), (72°,36°) arasından veya bunların bütünleyenleri olan
(150°,18°),(126°,30°),(108°,36°) açı çiftleri arasından seçebiliriz. Uygun seçimle
+
(α,β)=(54°,30°) bulunur. {α, β ε N }
Çözüm:2
1- IABI=2 ve IBDI=x alıp, ABK eşkenarı oluşturulursa IBHI=IHKI=1 olur.
2- BKE 36°-72°-72° üçgeni oluşturulursa IBEI=IBKI=2 olduğundan IDEI=2-x ve IECI=x olur.
Bu durumda ECK ikizkenar üçgendir ve taban açısı 36° dir.
3- IBKI=IKAI=IKCI olduğu için KBAC merkezil dörtgen ve s(ACB)=30° dir.
Çözüm:3
1- s(CBL)=36° olacak şekilde alıp CBL altın üçgenini oluşturalım. K∈[BL] olmak üzere, ABK eşke-
narı planlanırsa DKL ve DCL üçgenleri birer ikizkenar üçgen olur. ICDI=ICKI olduğundan AKC
48°-66°-66° ikizkenar üçgenidir. Buradan s(ACB)=30° bulunur.
* Bu soruyu 4.Bölümün başında da (AA) benzerliğiyle incelemiştik.
Soru:
ABC üçgeninin [AB] kenarı üzerinde D noktası alınıyor; s(ABC)=24°,
s(BCD)=s(DCA)=30° ve ICDI=1 ise, IABI kaçtır?

Çözüm: 1- BCAK kirişler dörtgeni
K oluşturulursa
A 1 A
24° 30° ACK 24°-30°-126° özel
D 96° 1 D 96° üçgeninde (yukarıda
54° 54°
gösterilen bağıntıdan
1 1
30° 30° 30° dolayı) ICDI=1 iken
24° 30° 24° 30°
B C B C IAKI=1 olur.
2- AKB 30°-30°-120° özel üçgeninden |AK|=1,|AB|=ñ3 bulunur.
217