Page 221 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

Altın bölme konusunu genel hatlarıyla incelemiş olduk. Şimdi ise harmonik bölme konusunda
gerekli olacak bazı soruları inceleyelim.

Soru:
s(A)=120° olan bir ABC üçgeninde; [AD], [BE] ve [CF] açıortay ise, s(FDE)=90° ve
s(CFD)=30° olduğunu gösteriniz.
Çözüm:

A A 60°
60° 60° E 60° 60° 60° E
F F
K I
B D C B D C
1- Bir üçgende, bir iç açıortay ile iki dış açıortayın bir noktada kesiştiğini biliyoruz. Bu nedenle DF
doğrusu ADC üçgeninin, DE doğrusu da ABD üçgeninin dış açıortayıdır. B-D-C doğrusal oldu-
ğu için s(FDE)=90° olmalıdır.
2- ABD ve ABC üçgenlerinin iç teğet çemberlerinin merkezleri sırasıyla K ve I olsun.
Şu halde s(BKD)=120° ve dolaysıyla AFKI bir kirişler dörtgenidir. AK nın açıortay olması ile
s(KAF)=s(KFI)=s(CFD)=30° olduğunu anlarız.

Soru:
s(EDF)=90° olan EDF üçgeninin hipotenüsü üzerinde R noktası ve EF doğrusu üzerin
de bir P noktası; olacak şekilde alınıyor.
Bu durumda s(PDF)=s(FDR) olacağını kanıtlayınız. (bkz. Harmonik Bölme)

Çözüm:
Q
F R E F R E
P D P S D
1- F noktasından ED doğrusuna bir paralel çizelim, bu paralel DP doğrusunu S noktasında ve DR
doğrusunu Q noktasında kessin.

3- s(QFD)=90° olduğu için DF doğrusu PDR üçgeninde bir iç açıortaydır.

220