Page 223 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

4.21 Pedal Üçgen ve Ortik Üçgen

A Soru:
Açıları α, β, θ olan ABC dar açılı üçgeninde A'B'C' ortik üçgenin açıları: 180°-2α, 180°-2β,
180°-2θ dır. C açısı geniş olan ABC geniş açılı üçgeninde ise A'B'C' ortik üçgenin
F açıları: 2α, 2β, 2θ-180° dir. Gösteriniz.
E
Çözüm:
P
A A A
B C
D x z
A
C' C' C'
z B' B' A'
z H x

θ
x H C
y y y y
B z x C B C B H
C' A' A' B'
B' 1- ABC dar açılı bir üçgen olsun.
H s(A'CH)=s(A'B'H)=x olarak alınırsa s(A'CC')=s(A'AC')=s(HAC')=s(HB'C')=x olur.
B C
A' s(B'CH)=s(B'A'H)=y olarak alınırsa s(B'CC')=s(B'BC')=s(HBC')=s(HA'C')=y olur.
s(B'AH)=s(B'C'H)=z olarak alınırsa s(B'AA')=s(B'BA')=s(HBA')=s(HC'A')=z olur.
ABC üçgeni içerisinde alınan x+y+z=90° ve x+z=α olduğundan s(A')=180°-2α dır. Aynı şekilde s(B')=180°-2β ve s(C')=180°-2θ dır.
herhangi bir P noktasından, Geniş açılı üçgeni size bırakıyoruz.
üçgenin kenarlarına çizilen
dikme ayakları D, E, F ise, Soru:
DEF üçgenine ABC üçgeninin
P noktasına göre Pedal Üçge- ABC üçgeninde [AD], [BF], [CE] yükseklikleri çiziliyor. A noktasından çevrel çem-
ni denir. bere çizilen teğetin EF doğrusuna paralel olduğunu gösteriniz.
ABC üçgeninin diklik merkezi Çözüm:
H, yükseklik ayakları A', B', C'
ise, A'B'C' üçgenine ABC P P 1- Teğet doğrusu üzerinde bir P noktası
A A
üçgeninin Ortik Üçgeni denir. d d alalım.

s(PAB)=s(ACB)=s(AFE)=θ olduğundan
PA // EF dir.
Ayrıca O çevrel çemberin merkezi oldu-
F F
E E ğu için OA ⊥ d dir. EF // d olduğuna
H H
göre OA ⊥ EF dir.

B C B C
D D
Soru:
ABC üçgeninde [AD] ve [BE] yükseklikleri çizildiğinde, DEC ≈ ABC benzerliğini
gösterip, benzeşim oranını bulunuz.
Çözüm:
A A 1- (AA) benzerlik kriterinden ABC≈DEC olduğu
kolayca görülür. Bu ise
2- |DC|=|AC|.|cosθ|ve |EC|=|BC|.|cosθ| olduğu
F için, bu iki üçgenin benzeşim oranı |cosθ| dır.

H E H E

B C B C
222 D D