Page 226 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

4. BÖLÜM ÜÇGENLER - II

Bir üçgende yükseklikler bir Soru:
noktada kesişir.
ABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapının, DEF ortik üçgeninin çevrel çembe-
A rinin yarıçapının iki katına eşit olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
A A 1- IHDI=IDD'I, IHEI=IEE'I, IHFI=IFF'I
F ve [DE] // [D'E'], [DF] // [D'F'],
E
H [EF] // [E'F'] olduğu için
F' F'
DEF ≈ D'E'F' olur. ABC üçgeniyle
E' E'
B D C E E D'E'F' üçgeninin çevrel çemberleri
F H F H
ortaktır. Birbirine benzeyen üçgenle-
rin, çevrel çemberlerinin yarıçapları
B D C B D C
oranı benzerlik oranına eşit olduğu-
1- [BE] ve [CF] yükseklik- D' D' na göre, bu kurguda oranı vardır.
leri H noktasında kesişir-
se, BFEC ve AFHE kiriş-
ler dörtgeni olur. Buradan
s(FCB)=s(FEB)=s(FEH)= Soru:
s(FAH)=s(BAD) olur.
DEF üçgeni, ABC üçgeninin P noktasına göre pedal üçgeni ise
2- ABD ve CBF üçgenle-
rinin iki açısı eşit olduğun- Bunu nasıl ispatlarsınız?
dan, diğer açıları da eşit- (D, E ve F noktaları sırasıyla [BC], [AB], [AC] kenarları üzerindedir.)
tir. O halde
s(ADB)=s(BFC)=90° dir.
Çözüm:
A A 1- AEPF kirişler dörtgeninin çevrel çemberinin yarı-
çapı R' olmak üzere,
F F
E E
P P
B C B C
D D

Soru ( 1994 TÜRKİYE ):
ABC üçgeninde [AH ] , [BH ] yükseklikleri H noktasında kesişiyor. H , H , H noktala-
1 2 1 2
rından geçen çemberin H deki teğeti [AB] yi D de kesiyor.
1
Çözüm:
1- H diklik merkezi olduğuna göre
A A
s(HCH )=s(H CH )=s(H AH ) dir.
1 3 1 3 1
Teğet kiriş açıdan s(HCH )=s(HH D) dir. ADH
1 1 1
ikizkenar olduğu için IADI=IDH I=IDBI dir.
17 17 1
D D 2- AH C üçgeni 8-15-17 üçgenidir. Pisagor teo-
H 3 1
reminden
H H 2 H H 2
B C B C
4 15 4 15
H 1 H 1
225