Page 228 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

4. BÖLÜM ÜÇGENLER - II

Soru ( 2004 ÇİN ):
ABC dar açılı üçgeninde [CE] ve [BD] yükseklikleri H noktasında kesişiyor. [DE] çaplı bir
çember [AB] ve [AC] kenarlarını sırasıyla F ve G noktalarında kesiyor. FG ve AH doğru-
ları K noktasında kesişiyor. IBCI=25 br, IBDI=20 br, IBEI=7 br ise IAKI kaç br dir?

Çözüm: 1- İlk olarak BDC ve BEC üçgenlerinde pisa-
gor teoreminden ICDI=15 ve ICEI=24
A A
olur. ADB ≈ AEC olduğundan
9
F G F G
K K
E E 9
D D
7 20 7 20
H 15 H 15
B L C B L C
25 25
2- AEC dik üçgenine geliyoruz; muhteşem üçlüden, IEDI=15 olur. [DE] çap olduğu için
s(EFD)=90° dir. Böylece AED ikizkenar üçgeninde IAFI=IFEI=9 olur.
3- EFGD ve BEDC kirişler dörtgeni olduğundan s(GFA)=s(EDA)=s(CBA) dır. Buradan [BC] // [FG]
gözükür.Sonuçta IABI=ICBI, IALI=ICEI=24 olduğu gözönüne alınırsa,

Soru:
ABC üçgeninde [BC] kenarının orta noktası P, diklik merkezi H, çevrel çemberin merke-
zi O ise; IAHI=2.IOPI dir. Gösteriniz.
Çözüm:
A A 1- Çapı gören çevre açı 90° dir; bunu bili-
yoruz. Dolayısıyla yandaki şekilde,
T
s(BCT)=s(BAT)=90°, [CH] // [TA] oldu-
ğundan AHCT bir paralelkenardır ve
ABC ile AFE üçgenlerin
benzerlik oranı çevrel çem- F O F O IAHI=ITCI dir.
berlerinin çapları oranına H E H E 2- [BC] kenarının orta noktası P ve
eşit olduğundan [OP] // [TC] olduğu için BOP ≈ BTC dir.
O halde IAHI=ITCI=2.IOPI dir.
B P D C B P D C

Soru:
ABC dar açılı üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı R ve ortik üçgeni DEF ise,

Çözüm:
1- ABC üçgeninde; IBCI.IOPI=R.IEFI dir. Benzer şekilde IEDI ve IDFI için yazılabilir. O halde

227