Page 229 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI
P. 229
100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ
Soru:
ABC dar açılı üçgen olmak üzere, köşeleri üçgen üzerinde olan, en küçük çevreli
üçgeni bulunuz.
Çözüm:
A A 1- XYZ rastgele bir üçgen olsun.
Y noktasının [AB] ve [AC] kenarları-
na göre simetriği alınırsa; AY'Y ve
X AY''Y üçgenleri ikizkenar olur ve
Y' IAYI=IAY'I=IAY''I bulunur.
X
Z Z
H
Y''
B C B C
Y Y
Bu durumda Ç(XYZ)=IXYI+IXZI+IYZI=IY'XI+IXZI+IZY''I olacağından çevrenin en küçük olması
için, Y'-X-Z-Y'' noktalarının doğrusal seçilmesi gerekir.
2- s(BAC)=α dersek, Y'AY'' ikizkenar üçgeninin tepe açısı 2α olur. Bu noktada IY'Y''I= 2sinα.IAYI dir.
3- sinα sabit bir sayıdır; çevrenin minimum olması için IAYI minimum olmalıdır, yani [AY] yüksek-
lik olmalıdır. Benzer düşünceyle [BZ] ve [CX] de yükseklik olur. Böylece XYZ ortik üçgeninin,
en küçük çevreye sahip üçgen olduğu anlaşılır.
Soru:
ABC üçgeninin içerisinde alınan P noktasından [BC], [AC] ve [AB] kenarlarına çizilen
PA , PB ve PC dikmeleriyle A B C pedal üçgeni oluşturuluyor. Aynı şekilde A B C
1 1 1 1 1 1 1 1 1
üçgeninin A B C pedal üçgeni ve A B C üçgeninin A B C pedal üçgeni oluştu-
2 2 2 2 2 2 3 3 3
rulursa, ABC üçgeninin A B C üçgenine benzeyeceğini gösteriniz.
3 3 3
Çözüm:
A A
B 1
A 2
C 1
C 3
B 3
B 2 P
B 1 B 1
A 3
A 2
C 1 C 1
P P C 2
B 2
C 2
B C B C
A 1 A 1
A 1
1- s(C AP)=α alırsak s(C AP)=s(C B P)=s(A B P)=s(A C P)=s(B C P)=s(B A P)=α olur.
1 1 1 1 2 1 2 2 3 2 3 3
Benzer şekilde s(B AP)=s(C A P) dir. Buradan s(A)=s(A ) bulunur.
1 3 3 3
Bunun gibi s(B)=s(B ) ve s(C)=s(C ) bulunur, yani
3 3
ABC ≈ A B C olur.
3 3 3
228