Page 229 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI
P. 229

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ


                                   Soru:
                                  ABC dar açılı üçgen olmak üzere, köşeleri üçgen üzerinde olan, en küçük çevreli
                                  üçgeni bulunuz.
                                  Çözüm:
                                          A                    A           1-  XYZ rastgele bir üçgen olsun.
                                                                              Y noktasının [AB] ve [AC] kenarları-
                                                                              na göre simetriği alınırsa; AY'Y ve
                                       X                                      AY''Y üçgenleri ikizkenar olur ve
                                                  Y'                          IAYI=IAY'I=IAY''I bulunur.
                                                          X
                                               Z                   Z
                                                               H
                                                                         Y''
                                  B             C      B             C
                                          Y                    Y
                                    Bu durumda Ç(XYZ)=IXYI+IXZI+IYZI=IY'XI+IXZI+IZY''I olacağından çevrenin en küçük olması
                                    için, Y'-X-Z-Y'' noktalarının doğrusal seçilmesi gerekir.
                                  2- s(BAC)=α dersek, Y'AY'' ikizkenar üçgeninin tepe açısı 2α olur. Bu noktada IY'Y''I= 2sinα.IAYI dir.
                                  3- sinα sabit bir sayıdır; çevrenin minimum olması için IAYI  minimum olmalıdır, yani [AY] yüksek-
                                    lik olmalıdır. Benzer düşünceyle [BZ] ve [CX] de yükseklik olur. Böylece XYZ ortik üçgeninin,
                                    en küçük çevreye sahip üçgen olduğu anlaşılır.




                                   Soru:
                                  ABC üçgeninin içerisinde alınan P noktasından [BC], [AC] ve [AB] kenarlarına çizilen
                                  PA , PB ve PC dikmeleriyle A B C pedal üçgeni oluşturuluyor. Aynı şekilde A B C
                                    1   1     1            1  1  1                                1  1  1
                                  üçgeninin A B C pedal üçgeni ve A B C üçgeninin A B C pedal üçgeni oluştu-
                                            2  2  2              2  2  2        3  3  3
                                  rulursa, ABC üçgeninin A B C üçgenine benzeyeceğini gösteriniz.
                                                       3  3  3
                                  Çözüm:



                                             A                    A
                                                                                                  B 1

                                                                                A 2
                                                                            C 1
                                                                              C 3
                                                                                  B 3

                                                                             B 2  P
                                                 B 1                  B 1
                                                                                A 3
                                                             A 2
                                     C 1                  C 1
                                         P                   P                         C 2
                                                           B 2
                                                                C 2
                                  B                 C  B                  C
                                        A 1                  A 1
                                                                                 A 1
                                  1- s(C AP)=α alırsak s(C AP)=s(C B P)=s(A B P)=s(A C P)=s(B C P)=s(B A P)=α olur.
                                       1            1      1 1    2 1     2 2    3 2     3 3
                                    Benzer şekilde s(B AP)=s(C A P) dir. Buradan s(A)=s(A ) bulunur.
                                                  1      3 3                 3
                                    Bunun gibi s(B)=s(B ) ve s(C)=s(C ) bulunur, yani
                                                   3         3
                                    ABC ≈ A B C olur.
                                           3 3 3
          228
   224   225   226   227   228   229   230   231   232   233   234