Page 231 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

Soru ( 2002 TÜRKİYE ):
Bir ABC üçgeninde [AB], [BC] ve [CA] nın orta noktaları sırasıyla C', A' ve B' ; A dan BC
ye inilen dikmenin ayağı H dır. IA'C'I=6 olduğuna göre, IB'HI nedir?
Çözüm:
A A 1- Basit bir şekilde [A'C'] // [CA], IACI=12
ve IB'HI=6 bulunur.
6
C' B' C' B'
6 6 6 6

B A' H C B A' H C

Soru:
Diklik merkezi H olan ABC üçgeninde; P, Q ve R noktaları sırasıyla [AH], [BH] ve [CH]
ın orta noktaları ise, gösteriniz ki PQR ≈ ABC dir ve benzerlik oranı da dir.
Çözüm:
A A 1- IHPI=IPAI ve IHRI=IRCI olduğun-
dan ICAI=2IRPI dir. Diğer taraftan
IBAI=2IQPI ve IBCI=2IQRI olduğu
P P için PQR ≈ ABC dir.
Bu sebeple benzerlik oranı da
H H
Q Q
R R
B C B C

Soru ( 2002 Centromerican ):
ABC dar açılı üçgeninde [AD] ve [BE] yükseklik olmak üzere,
A(BDE)≤A(DEA)≤A(EAB)≤A(ABD) ise, ABC üçgeni ikizkenar bir üçgendir, gösteriniz.

Çözüm:
1- A(BDE)≤A(DEA) ⇒ [DE] ortak olduğu için A dan [DE]
A A ye çizilen yükseklik, B den [DE] ye çizilen yükseklikten
büyüktür. O halde DE ve AB doğruları, B-D tarafında
bir yerde kesişir.
E
2- A(EAB)≤A(ABD) ⇒ [AB] ortak olduğu için D den [AB]
ye çizilen yükseklik, E den [AB] ye çizilen yükseklikten
büyüktür. O halde DE ve AB doğruları A-D tarafında bir
E yerde kesişir. Yani demek oluyor ki [AB] // [DE] dir.
3- Hem [AB] // [DE] hem de s(ADB)=s(AEB) dir. Bu ikisin-
B C
D B D C den s(A)=s(B) sonucunu çıkarabiliriz.

230