Page 233 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

Uyarı: Soru:
Çevrel çemberin merkezi O, ağırlık merkezi G, dokuz nokta çemberinin merkezi N
* A C B ≈ ABC ve benzerlik ve diklik merkezi H olan bir üçgende gösteriniz ki O-G-N-H noktaları doğrusaldır.
2 2 2
oranı 1:2 olduğundan, iki
üçgenin çevrel çemberlerinin Çözüm:
yarıçapları oranı da 1:2 dir.
O halde dokuz nokta çemberi- A A 1- Yukarıdaki gibi harflendirelim,
nin yarıçapı, çevrel çemberin ABH üçgeninde C ve A orta
3
2
yarıçapının yarısına eşittir. nokta ise [C A ] // [BH] olur.
2 3
C 1 C 1
A 3 A 3 Benzer şekilde [C A ] // [AC]
** Geniş açılı üçgende diklik 2 2
C 2
B 2 C 2 B 2 dir. Bu aşamada
merkezi üçgenin dışındadır. O G O G
2 2 3
Dik açılı üçgende 9 nokta N N s(A C A )=90° dir. Ayrıca
B 1 B 1 [C B ] // [BC] olduğundan
çemberi, 5 nokta çemberine B 3 H C 3 B 3 H C 3 2 2
dönüşür. AA ⊥ C B dir.
2 2
3
B C B C
Dolayısıyla A noktası, AC B
A 2 A 1 A 2 A 1
3 2 2
üçgeninin diklik merkezidir.
2- O noktası ise A C B üçgeninin diklik merkezidir. Niçin? Çünkü, [BC] // [C B ] olup OA ⊥ C B
2 2 2 2 2 2 2 2
dir. Aynı şekilde OC ⊥ A B dir.
2 2 2
3- AC B ≅ A C B olduğundan IOA I=IAA I=IA HI ve dolayısıyla OA HA bir paralelkenardır.
2 2 2 2 2 2 3 3 2 3
OA HA paralelkenarının köşegenlerinin kesim noktası (N noktası), [A A ] çapının orta noktası-
2 3 2 3
dır. Öte yandan, [AA ] kenarortayı ile paralelkenarın [OH] köşegeni G noktasında kesişsin.
2
OGA ≈ HGA ve IAGI:IGA I=IAHI:IOA I=1:2 olduğundan G noktası ABC üçgeninin ağırlık merke-
2 2 2
zidir. Böylelikle O-G-N-H noktalarının doğrusallığını ve aralarındaki 2:1:3 oranını göstermiş olduk.
4.23 Euler ( 1707 - 1783 ) Doğrusu
Çevrel çemberin merkezi O ve İspat:
ağırlık merkezi G olmak üzere,
GO doğrusuna Euler Doğrusu A A 1- Aynı ifadeler yukarıda sentetik
denir. olarak ispatlanmıştır. Burada
OH ve AA doğrularının G' nok-
Dokuz nokta çemberinin mer- 2
A 3 A 3 tasında kesiştiğini kabul edip,
kezi N ve diklik merkezi H G=G' olduğunu trigonometrik
olmak üzere; O-G-N-H doğru- O O
G' N G N olarak göstereceğiz.
sal noktaları (Euler Doğrusu
B 1 B 1
üzerinde) harmonik sıra oluş- H H
tururlar. Bu ünlü teorem, Euler B C B C
tarafından 1765'te yayınlan- A 2 A 1 A 2 A 1
mıştır.
2k k 3k
O H
G N

232