Page 266 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

ÇOKGENLER - II

Soru:
ABCD dörtgeninin [BC] ve [AD] kenarları üzerinde sırasıyla P ve Q noktaları,
IBPI:IPCI=IDQI:IQAI olacak şekilde alınıyor.
BQ ∩ AP={R} ve DP ∩ CQ ={S} ise, A(PSQR)=A(ARB)+A(DSC) olduğunu kanıtlayınız.
Yandaki şekilde Çözüm:
A(BQC)+A(APD)=A(ABCD) A A 1- P ve Q noktalarının orta nokta olması
olduğuna dikkat ediniz.
Q Q şartıyla bu problemi kanıtlamıştık.
Şimdi ise verilen oranla kanıtlamak isti-
1
h-h 2
S 6 h-h 2
D D yoruz. A, Q ve D noktalarından BC doğ-
S 5
S 4
R S rusuna çizilen yükseklikler sırasıyla h ,
1
3
S+S 4
h 2 h 2 h 2
S 3 h ve h olsun.
2
S 1
S 2
IDQI:IDAI=m denilirse IBPI=mIBCI ve
B P C B P C
IPCI=(1-m)IBCI olur.
2- Benzer üçgenler yardımıyla
3- Bu eştiliğin her iki tarafından A(BRP)+A(PSC) silinirse, A(PSQR)=A(ARB)+A(DSC) eşitliği
kanıtlanır.

Soru:
ABCD dörtgeninin [AD] kenarı üzerinde alınan A' ve D' noktaları için IAA'I=IDD'I=m.IADI
dir. Aynı şekilde m<0.5 olmak üzere [BC] kenarı üzerinde alınan B' ve C' noktaları için
IBB'I=ICC'I=m.IBCI ise, A(A'B'C'D'):A(ABCD)=1-2m dir. Bu eşitliği ispatlayınız.

Çözüm:
D D 1- IADI=1 alırsak IAA'I=IDD'I=m ve
m m IA'D'I=1-2m olur;
A(A'C'D'):A(AC'D)=1-2m bulunur. Aynı
D' D' şekilde A(B'C'A'):A(BA'C)=1-2m dir.
1-2m C 1-2m C 2- Yukarıdaki uygulamayla
A(AC'D)+A(BA'C)=A(ABCD)
A' C' A' C'
yazabiliriz.
m B' m B'
A B A B
Bu bakımdan
A(A'B'C'D')=A(A'C'D')+A(B'C'A')=(1-2m). A(AC'D)+(1-2m).A(BA'C)=(1-2m).A(ABCD) olur.

265