Page 261 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

5.3.2 Varignon (1654-1722) Paralelkenarı

ABCD dörtgeninin kenarların İspat:
orta noktaları X, Y, Z ve T ise D D
XYZT bir paralelkenardır. Bu 1- DAC üçgeninde T ve Z orta nokta olduğun-
dan TZ // AC dir. Ayrıca AC // XY olduğu
paralelkenara Varignon paralel- Z Z
kenarı denir. Bu durumda C C için TZ // XY olmaktadır. Diğer taraftan
Ç(XYZT)=IACI+IBDI olmaktadır. T T YZ // XT olacağı için anlıyoruz ki karşılıklı
kenarları paralel olan XYZT dörtgeni bir
Y Y paralelkenardır.
ABCD dörtgeninde; 2- Ç(XYZT)=IACI+IBDI eşitliğini de siz gösteriniz.
AC ⊥ BD ⇒ XYZT A X B A X B
dikdörtgendir.
AC = BD ⇒ XYZT
eşkenar dörtgendir. Soru:
AC ⊥ BD ve AC = BD ⇒ ABCD dörtgeninin kenarların orta noktaları sırasıyla X, Y, Z, T ve
XYZT karedir.
A(AXT)=A, A(BXY)=B, A(CYZ)=C, A(DTZ)=D ise A+C=B+D dir. Kanıtlayınız.
Çözüm:
D D
Z Z
D D
C C
T C T C
1- 'Benzer üçgenlerin alanları oranı
Y Y
A B A B benzerlik oranının karesine eşittir.'
A X B A X B Bu ünlü kaideyi kullanıyoruz:

Soru:
Bir ABCD dörtgeninin [AB] ve [CD] kenarlarının orta noktaları sırasıyla X ve Y olmak
üzere, [DX] ∩ [AY]={T} ve [BY] ∩ [CX]={Z} ise, A(XZYT)=A(TAD)+A(ZCB) dir.
Kanıtlayınız.
Çözüm:
D D D
Y Y Y
C C C
T T T
Z Z Z
A X B A X B A X B
1- Burada kullanacağımız esas fikir şudur: [CD] kenarına, X noktasından çizilen yükseklik, A ve B
köşelerinden çizilen yüksekliklerin aritmetik ortalamasına eşittir.
Nitekim A(YAD)+A(YBC)=A(DXC) olur.
Bu eşitliğin her iki tarafından A(YTD)+A(YZC) çıkartılırsa, A(XZYT)=A(TAD)+A(ZCB) bağıntısı
bulunmuş olur.

260