Page 261 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI
P. 261

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ


                5.3.2 Varignon (1654-1722) Paralelkenarı

          ABCD dörtgeninin kenarların  İspat:
          orta noktaları  X, Y, Z ve T ise  D        D
          XYZT bir paralelkenardır. Bu                                1-  DAC üçgeninde T ve Z orta nokta olduğun-
                                                                         dan TZ // AC dir. Ayrıca AC // XY olduğu
          paralelkenara Varignon paralel-  Z                 Z
          kenarı denir. Bu durumda               C                  C    için TZ // XY olmaktadır. Diğer taraftan
          Ç(XYZT)=IACI+IBDI olmaktadır.  T           T                   YZ // XT olacağı için anlıyoruz ki karşılıklı
                                                                         kenarları paralel olan XYZT dörtgeni bir
                                                Y                  Y     paralelkenardır.
          ABCD dörtgeninde;                                           2-  Ç(XYZT)=IACI+IBDI eşitliğini de siz gösteriniz.
          AC ⊥ BD ⇒ XYZT           A    X    B        A     X   B
          dikdörtgendir.
          AC = BD ⇒ XYZT
          eşkenar dörtgendir.      Soru:
          AC ⊥ BD ve AC = BD ⇒    ABCD dörtgeninin kenarların orta noktaları sırasıyla  X, Y, Z, T ve
          XYZT karedir.
                                  A(AXT)=A, A(BXY)=B, A(CYZ)=C, A(DTZ)=D ise A+C=B+D dir. Kanıtlayınız.
                                  Çözüm:
                                  D                      D
                                          Z                      Z
                                     D                      D
                                                 C                      C
                                  T           C          T           C
                                                                          1- 'Benzer üçgenlerin alanları oranı
                                                Y                      Y
                                     A      B               A      B         benzerlik oranının karesine eşittir.'
                                   A    X    B            A    X    B        Bu ünlü kaideyi kullanıyoruz:








                                   Soru:
                                  Bir ABCD dörtgeninin [AB] ve [CD] kenarlarının orta noktaları sırasıyla X ve Y olmak
                                  üzere,  [DX]  ∩ [AY]={T} ve [BY]  ∩ [CX]={Z} ise,  A(XZYT)=A(TAD)+A(ZCB) dir.
                                  Kanıtlayınız.
                                  Çözüm:
                                  D               D                 D
                                         Y                Y                Y
                                                 C               C                 C
                                      T               T                 T
                                            Z               Z                 Z
                                   A    X   B      A    X    B      A     X   B
                                  1-  Burada kullanacağımız esas fikir şudur: [CD] kenarına, X noktasından çizilen yükseklik, A ve B
                                    köşelerinden çizilen yüksekliklerin aritmetik ortalamasına eşittir.
                                    Nitekim A(YAD)+A(YBC)=A(DXC) olur.
                                    Bu eşitliğin her iki tarafından A(YTD)+A(YZC) çıkartılırsa, A(XZYT)=A(TAD)+A(ZCB)  bağıntısı
                                    bulunmuş olur.


          260
   256   257   258   259   260   261   262   263   264   265   266