Page 262 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI
P. 262

ÇOKGENLER - II


          Bir dörtgenin karşılıklı kenar  Soru ( 2000 TÜRKİYE ):
          orta noktalarını birleştiren  Kenar uzunlukları 1, 4, 7, 8 olan bir dörtgenin alanı en çok kaç olabilir?
          doğru parçalarının kesim nok-
          tasına, dörtgenin ağırlık mer-
          kezi denir. Bir dörtgenin ağırlık  Çözüm:
          merkezi aynı zamanda o dört-
          genin varignon paralelkenarı-                           1- Görüyoruz ki alan en çok 18 olabilir.
                                           7               7
          nın ağırlık merkezidir.
                                  4                4
                                                 1               1
                 D                       8               8
                     O CD
                      O   C
                       BD
             O  AD  G
                  O                Soru:
                   AC
                           O BC
                                  Bir dörtgenin köşegenlerinin orta noktaları ile karşılıklı iki kenarının orta noktaları para-
                                  lelkenar oluşturur. Niçin?
              A     O AB   B
                                  Çözüm:
                                                  C                    C 1-  ABCD dörtgeninde [AB] ve [CD] kenar-
                                          R                    R
                            D     D                    D                   larının orta noktaları sırasıyla P ve R,
                                                                           [AC] ve [BD] köşegenlerinin orta nokta-
                                          E                    E
                   O CD                                                    ları sırasıyla E ve F olsun. PERF dört-
                                                                           geni bir paralelkenardır; çünkü karşılıklı
                                     F                    F
              C   O AD     O                                               kenarlar paraleldir.
                   G        BD
           O  AC     O BC         A   P    B           A   P    B
            A      O AB  B


                                   Soru ( 1962 SOVYETLER BİRLİĞİ ):
                                  ABCD konveks dörtgeninden yeni bir A'B'C'D' dörtgeni oluşturulmak isteniyor. Bunun için
                                  [DA'] nün orta noktası A olacak şekilde bir A' noktası alınıyor. Benzer şekilde, [AB'] nün orta
                                  noktası B, [BC'] nün orta noktası C ve [CD'] nün orta noktası D olacak şekilde B', C', D'
                                  noktaları alınıyor. Bu durumda A(A'B'C'D')=5.A(ABCD) olduğunu ispat ediniz.
                                  Çözüm:
                                                  A'                       A'      1- ABCD dörtgeninde
                                                                                      köşegenlerin kesim
                                                                                      noktası O olmak üzere,
                                                                         D+A          A(AOB)=A, A(BOC)=B,
                                             A                      C+D A   D+A
                                                   B                     A   B        A(COD)=C ve
                                                        B'                        B'  A(DOA)=D diyelim.
                                                                  C+D  D  O  B  A+B   IADI=IAA'I olduğundan
                                                                        C
                                  D'              C        D'               C A+B     A(ABA')=D+A dır.
                                          D                        D
                                                                    C+B  C+B
                                                 C'                        C'
                                  2- Böyle devam edilirse A(A'B'C'D')=5.(A+B+C+D)=5.A(ABCD) bulunur.



                                                                                                    261
   257   258   259   260   261   262   263   264   265   266   267