Page 262 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

ÇOKGENLER - II

Bir dörtgenin karşılıklı kenar Soru ( 2000 TÜRKİYE ):
orta noktalarını birleştiren Kenar uzunlukları 1, 4, 7, 8 olan bir dörtgenin alanı en çok kaç olabilir?
doğru parçalarının kesim nok-
tasına, dörtgenin ağırlık mer-
kezi denir. Bir dörtgenin ağırlık Çözüm:
merkezi aynı zamanda o dört-
genin varignon paralelkenarı- 1- Görüyoruz ki alan en çok 18 olabilir.
7 7
nın ağırlık merkezidir.
4 4
1 1
D 8 8
O CD
O C
BD
O AD G
O Soru:
AC
O BC
Bir dörtgenin köşegenlerinin orta noktaları ile karşılıklı iki kenarının orta noktaları para-
lelkenar oluşturur. Niçin?
A O AB B
Çözüm:
C C 1- ABCD dörtgeninde [AB] ve [CD] kenar-
R R
D D D larının orta noktaları sırasıyla P ve R,
[AC] ve [BD] köşegenlerinin orta nokta-
E E
O CD ları sırasıyla E ve F olsun. PERF dört-
geni bir paralelkenardır; çünkü karşılıklı
F F
C O AD O kenarlar paraleldir.
G BD
O AC O BC A P B A P B
A O AB B

Soru ( 1962 SOVYETLER BİRLİĞİ ):
ABCD konveks dörtgeninden yeni bir A'B'C'D' dörtgeni oluşturulmak isteniyor. Bunun için
[DA'] nün orta noktası A olacak şekilde bir A' noktası alınıyor. Benzer şekilde, [AB'] nün orta
noktası B, [BC'] nün orta noktası C ve [CD'] nün orta noktası D olacak şekilde B', C', D'
noktaları alınıyor. Bu durumda A(A'B'C'D')=5.A(ABCD) olduğunu ispat ediniz.
Çözüm:
A' A' 1- ABCD dörtgeninde
köşegenlerin kesim
noktası O olmak üzere,
D+A A(AOB)=A, A(BOC)=B,
A C+D A D+A
B A B A(COD)=C ve
B' B' A(DOA)=D diyelim.
C+D D O B A+B IADI=IAA'I olduğundan
C
D' C D' C A+B A(ABA')=D+A dır.
D D
C+B C+B
C' C'
2- Böyle devam edilirse A(A'B'C'D')=5.(A+B+C+D)=5.A(ABCD) bulunur.

261