Page 267 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

Soru ( 1990 BREZİLYA ):
ABCD konveks dörtgeninde; E, F, G, H noktaları sırasıyla [AB], [BC], [CD], [DA] kenar-
larının orta noktalarıdır. Öyle bir P noktası bulunuz ki
A(PHAE)=A(PEBF)=A(PFCG)=A(PGDH) olsun.
Çözüm:
B B 1- [AC] ve [BD] köşegenlerinin orta nokta-
E E
A A ları sırasıyla M ve N olsun. MP // BD ve
NP // AC şartını sağlayan P noktasının,
F F problemdeki koşulları sağladığını gös-
M N H M N H terelim.
P P

C G D C G D

2- A(MEH)=A(PEH) olacağı için

Demek ki P noktası alanı dört eşit parçaya bölmektedir.

Soru ( 1964 SOVYETLER BİRLİĞİ ):
ABCD konveks dörtgeninde; A noktasından [BD] köşegenine çizilen yükseklik ayağı A'
noktası, B noktasından [AC] köşegenine çizilen yükseklik ayağı B' noktası v.b. şekilde
A'B'C'D' dörtgeni oluşturuluyor.
A'B'C'D' dörtgeninin, ABCD dörtgenine benzediğini gösteriniz.

Çözüm:
A A 1- ABCD dörtgeninin köşegenlerinin
kesim noktası O olsun.
(AA) benzerlik kriteriyle
B' B' CC'O ≈ AA'O ve BB'O ≈ DD'O oldu-
ğundan
O C' O C'
B D B D
A' A'
D' D'
C C
2- AA'O ≈ BB'O ve CC'O ≈ DD'O olduğundan

Nitekim olması,
A'B'C'D' dörtgeninin ABCD dörtgenine benzediğini gösterir.

266