Page 263 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

Soru:
Bir dörtgenin karşılıklı kenarlarının orta noktalarını birleştiren doğrular K noktasında
kesişsin. Köşegenlerin orta noktalarını birleştiren doğrunun da K noktasından geç-
tiğini gösteriniz.

Çözüm:
C C 1- SFQE ve ERFP paralelkenarlarının köşe-
R R
D D genleri, [EF] nin orta noktasında (yani K
noktasında) kesişmektedir.
E E
K Q Q
S S
F F
A P B A P B

Soru ( 1982 KANADA ) :
ABCD dörtgeni ve bir P noktası veriliyor. A' noktası [PA'] // [AB] olacak şekilde alınıyor.
Benzer şekilde [PB'], [PC'] ve [PD'] kenarları [BC], [CD] ve [DA] kenarlarına paralel ve uzun-
luklarına eşit olacak şekilde alınıyor. A(A'B'C'D')=2A(ABCD) olduğunu ispat ediniz.

Çözüm:
D' 1- İki kenar uzunluğu ve bu kenar-
lar arasındaki açıları sabit olan
ABC ve A'PB' üçgenlerine baka-
A lım; bu iki üçgenin alanları eşittir.
Diğerleri de bunun gibi olur ve
B A' A+D C+D
A P A(A'B'C'D')=2A(ABCD) olarak
D A+B C' bulunur.
O B B+C
C
D C
B'

Soru:
IADI=IBCI olan ABCD dörtgeninde E ve F sırasıyla [DC] ve [AB] nin orta noktaları olmak
üzere, s(DAB)=80°, s(CBA)=60° ise s(EFA)=α kaç derecedir?
Çözüm:
D E D E 1- [AC] ve [BD] köşegenleri-
C C
nin orta noktaları sırasıyla
P ve Q olsun.
Q
P
80° 60° 60° 80°
A F B A F B
Şu halde CEP ≈ CDA , [EP] // [DA] ve IADI=2IPEI dir. Benzer muhakeme sonucunda PEQF
nin (biraz önce gördüğümüz üzere) bir paralelkenar olduğunu anlarız.
2- Buna ilave olarak IADI=IBCI verilmiş; dolayısıyla PEQF bir eşkenar dörtgendir.
Bu yüzden s(PFE)=s(EFQ)=20° ve s(AFE)=α=60+20=80° dir.

262