Page 269 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

5.3.3 Casey (1888 ) Teoremi

Kenar uzunlukları a, b, c, d ; İspat:
köşegen uzunlukları p, q;
köşegenlerin orta noktalarını
birleştiren doğru parçasının B a B a 1- p ve q uzunluğundaki [AC] ve [BD] köşe-
uzunluğu x olan bir ABCD A A genlerinin orta noktaları E ve F olsun.
dörtgeninde; Kenarortay teoremiyle;
b b
E F E F
x d d

C c D C c D

2- AFC üçgeninde [FE] kenarortay olduğu için

Soru ( 2003 BALTIK ÜLKELERİ ):
ABC üçgeninin kenarları üzerine dışa doğru AMB, BNC, CKA eşkenar üçgenleri oluştu-
ruluyor. [MN] nin orta noktasından AC ye bir dik çiziliyor. Benzer şekilde, [NK] nın orta
noktasından AB ye ve [KM] nin orta noktasından BC ye birer dik çizildiğinde, bu
üç dikmenin bir noktada kesişeceğini gösteriniz.
Çözüm:

M M 1- MBC üçgeninin B etrafında nega-
c tif yönde 60° döndürülmesiyle
A A ABN üçgeni oluştuğu için
b
c IANI=IMCI dir. [AB], [BC], [AC]
K K
E G ve [MN] nin orta noktaları sırasıy-
b
O Z la E, F, G ve O olsun. IABI=c,
Z
B C B C IACI=b, IBCI=a ve IANI=ICMI=e
F
ise, ANBM ve CMBN dörtgenle-
a a
rinde Casey formülüyle
N N
eşitlikleri yazılabilir. Buradan IOEI=IOFI bulunur.
2- EF // AC olduğundan, O noktasından AC doğrusuna çizilen dikme, EF doğrusuna da diktir.
OEF ikizkenar olduğundan, bahsi edilen dikme [EF] nin kenar orta dikmesidir.
3- Bu gidişle EFG üçgeninin çevrel çemberinin merkezine varılır. Yani, bu üç dikme bir noktada
kesişir.

268