Page 273 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

Soru ( 1994 HİNDİSTAN ):
O merkezli bir çemberde [AC] ve [BD] kirişleri M noktasında dik kesişiyor. [AB] ve [CD]
kirişlerinin orta noktaları sırasıyla K ve L ise, OKML dörtgeninin bir paralelkenar oldu-
ğunu gösteriniz.

Çözüm:
A A 1- L ve K orta nokta olduğundan
K K
B D B D LM ⊥ AB ve KM ⊥ CD dir.
M M
(Brahmagupta teoremi)
O noktası çevrel çemberin merkezi
olduğundan OL ⊥ CD ve OK ⊥ AB dir.
Buradan KM // OL ve LM // OK olur.
O L O L
Yani OKML dörtgeni bir paralelkenardır.

C C

5.4 Özel Dörtgenler

Bu başlık altında; daha önce tanımlarıyla yetindiğimiz; yamuk, paralelkenar, eşkenar dörtgen, dikdörtgen, kare ve deltoid konularını biraz
daha incelterek işleyeceğiz. Ayrıca Van Aubel ve Finsler-Hahwiger teoremlerini görerek, tüm bunlarla ilgili yarışma sorularına yer vereceğiz.

5.4.1 Yamuk

Bir yamukta paralel olmayan
iki kenarın orta noktalarını bir-
leştiren doğru parçasına
yamuğun orta tabanı denir.

D C Soru:
Bir yamukta orta taban, diğer tabanlara paraleldir ve uzunluğu ise taban uzunluklarının
E orta taban F aritmetik ortasına eşittir. Kanıtlayınız.

A B Çözüm:
P 1- AD ve BC doğruları P noktasında
kesişsin. Temel orantı teoremine
göre,
Yandaki şekilde D C D C
[BD] ∩ [EF] ={L} olmak üzere,
E F E F
K L K L
A B A B

2- Şimdi, temel orantı teoreminin karşıtından [EF] // [AB] diyebiliriz.
[AC] ∩ [EF] ={K} ⇒ AEK≈ADC ve CKF ≈ CAB olur. Bu sayede

272