Page 27 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

Soru (1966 SOVYETLER BİRLİĞİ):
Düzlemdeki [AD] doğru parçası üzerinde IABI=ICDI olacak şekilde B ve C noktaları alı-
nıyor. Buna göre, bu düzlemdeki bir P noktası için; dir.
Kanıtlayınız.
Çözüm
1- Önce P noktasını [AD] doğru parçasının üzerinde alalım. A
ve D uç nokta olduğu için IPAI+IPDI toplamının IPBI+IPCI
toplamından büyük olması normaldir.
2- Şimdi ise P noktasının [AD] doğru parçasının dışında olma
durumunu inceleyelim. Şu halde [AD] doğru parçasının orta
noktası O olmak üzere, PO doğrusu üzerinde IPOI=IOP'I
olacak şekilde P' noktası işaretleyelim. P'B ∩ PA={R} ise
üçgen eşitsizliğinden, P'AR → IP'AI+IARI>IP'RI⇒
IP'AI+IARI+IRPI>IP'RI+IRPI⇒IPAI+IP'AI>IP'RI+IRPI dir.
PRB → IRPI+IRBI>IPBI ⇒
IRPI+IRBI+IBP'I>IPBI+IBP'I ⇒ IRPI+IRP'I>IPBI+IBP'I olur.
3- IBP'I yerine IPCI ve IAP'I yerine IPDI yazılırsa
(IPAI+IP'AI)=(IPAI+IPDI) > (IPBI+IBP'I)=(IPBI+IPCI) bulunur.
Soru (1963 SOVYETLER BİRLİĞİ):
ABC üçgeninde; C noktasından B açısının açıortayına çizilen paralel, A açısının açıor-
tayını D noktasında ve C noktasından A açısının açıortayına çizilen paralel, B açısının
açıortayını E noktasında kesiyor. DE // AB ise IACI=IBCI olduğunu ispat ediniz.
Çözüm
1- ED ve BC doğruları K noktasında kesişsin. Şekil-
deki gibi ABC üçgeninin iç açıları 2α, 2β ve
A A
E E 2θ olsun. Açılar yazılırsa s(EKC)=2β,s(BEK)=β

ve s(KDC)=s(KCD)=β dan KCD ile KBE üçgen-
leri ikizkenar bulunur.
L
2- Buradan IBCI=IBKI+IKCI=IEKI+IKDI=IEDI olur.

B C B K C Aynı şekilde
IACI=IALI+ILCI=IDLI+ILEI=IDEI olacağı için

IBCI=IEDI=IACI sonucuna varılır.
D D
Soru:
IABI=IACI olan ABC ikizkenar üçgeninin taban uzantısında bir D noktası alınıyor. L∈AC ve
K∈AB olmak üzere, [DL] // [AB] ve [DK] // [AC] ise |IDKI-IDLI|=IABI=IACI dir. Gösteriniz.
Çözüm
K K 1- Biraz evvel, bir ikizkenar üçgenin
tabanında alınan bir noktadan eş
A A
kenarlara çizilen paralel doğruların
uzunlukları toplamının, ikizkenar
üçgenin eş kenarına eşit olduğunu

B C D B C D göstermiştik.
L L
Şimdi ise şunu göstermemiz isteniyor: ''Bir ikizkenar üçgenin taban uzantısında alınan bir nok-
tadan eş kenarlara çizilen paralel doğruların uzunlukları farkı, ikizkenar üçgenin eş kenarına
eşittir.'' Bunu da siz gösteriniz.

26