Page 30 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

1. BÖLÜM ÜÇGENLER - I

Soru:
15°-75°-90° dik üçgeninde gösteriniz ki hipotenüse ait yükseklik 1 br ise hipote-
nüs 4 br dir.
Çözüm
A A
15°
1 2 1
15° 15° 30°
B C B C
H 2 D H
4 4
1- [AD] kenarortayını çiziyoruz; IBDI=IDCI=IDAI olur.
2- DAH üçgeni 30°-60°-90° üçgenidir. IAHI=1br ise IADI=2 br ve IBCI=2IADI=4 br dir.

A
Soru:
Yandaki şekilde s(ABC)=30°, s(CBD)=40°, s(BCA)=60° ve s(BCD)=50° ise, s(EAC) kaç
derecedir?
30° 60°
B C
40° E 50° Çözüm
1- BAC ve BDC dik üçgenlerinde, [BC] hipotenüsünün orta nokta-
A
sını işaretleyecek olursak, IAOI=IOBI=IOCI=IODI olur.
D 2- s(AOD)=s(AOC)+s(COD)=140° ve IDOI=IAOI ise s(OAE)=20°
ve s(EAC)=60°-20°=40° dir.
30° O 60° 60°
B C
40° 80° E 50°
40°
D

Soru (1996 İRLANDA):
ABC bir üçgen olmak üzere, [AB] ve [AC] kenarları üzerine (dışa doğru) ABD ve ACE
ikizkenar dik üçgenleri kuruluyor. F noktası [BC] kenarının orta noktası ise, DEF
üçgeninin ikizkenar dik üçgen olduğunu gösteriniz.

Çözüm
E E
A A
D D
A
P Q
180°-A 180°-A

A
B F C B F C
1- P ve Q noktaları sırasıyla [AB] ve [AC] kenarlarının orta noktaları olsun. ABD dik üçgeninde
(muhteşem üçlüden) 2IDPI=IABI ve ABC üçgeninde (orta tabandan) IABI=2IFQI olduğunu bili-
yoruz. Yani demek oluyor ki IDPI=IFQI dur. Aynı şekilde IPFI=IQEI olacağı açıktır.
2- Buna ek olarak, s(DPF)=90°+s(A)=s(FQE) olduğu için DPF ≅ FQE (KAK) olur. Buradan şu sonuç
çıkar: IDFI=IFEI ve s(DFE)=90°. Başka bir deyimle; DEF üçgeni ikizkenar bir dik üçgendir.

29