Page 29 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

1.7 Viviani (1622 - 1703) Teoremi

İspat: ABC eşkenar üçgeninin içerisinde alınan K noktasından kenarlara çizilen dikmelerin uzunlukları
toplamı, üçgenin yüksekliğine eşittir.
A A A
Uyarı:
ABC eşkenar üçgeninin dışında, A
E
F köşesinin karşı tarafında alınan bir h
K P noktasından kenarlara veya h'
kenar uzantılarına a', b' ve c' dikme-
B C C B C
D leri çizildiğinde, B
c' a' b' c' a' b'
h=(b'+c')-a' olduğuna dikkat ediniz.
A P P
h'=b'+c' ve h'=h+a'
Soru:
E
F Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortay uzunluğu, hipotenüs uzunluğunun yarısına
P K R eşittir. Gösteriniz.
H 1
B C
D H Çözüm
A A 1- [AC] kenarının orta noktası E ise, [ED] orta taban
ve [ED] // [AB] dir.
1- K noktasından geçen E
2- DAC üçgeninde [DE] hem kenarortay hem de yük-
PR II BC çizilirse B C B C seklik olduğundan IADI=IDCI ve IBCI=2IADI olur.
D D
IKFI+IKEI=IAH I olur.
1
2- PR II BC olduğundan Uyarı:
IKDI=IH HI ve devamında
1 Aşağıdaki şekilleri okuyacak olursak;
IAHI=IAH I+IH HI
1 1 * Bir dik üçgende 30° nin karşısında 1br. varsa 90° nin karşısında 2 br. vardır.
=IKFI+IKEI+IKDI olur.
A 1
A A A
1br 30° 60° 1 A 2
30° 30° 60° 60°
B C B C B C
D 1 D 1 D
** [BC] doğru parçasının orta noktası D olmak üzere; IDAI=IDA I=....=IDA I olacak şekilde A, A ,
1
1
n
A ,....A noktalarıyla oluşturulan BAC, BA C, BA C,...üçgenleri birer dik üçgendir.
2 n 1 2
*** BAC dik üçgeninde IBDI=IDCI veya IBDI=IDAI ise IDAI=IDBI=IDCI dir.
Bu özellik muhteşem üçlü diye bilinir.
Soru (2008 TÜRKİYE):
C açısı geniş açı olan ABC üçgeninde D ∈ [AB] ve [DC] ⊥ [BC] dir.
s(ABC)=α, s(BCA)=3α ve IACI−IADI=10 olduğuna göre IBDI kaç birimdir?
Çözüm
1- BCD dik üçgeninde [CE] kenaror-
tayı çizilirse (muhteşem üçlüden)
IDEI=ICEI=IBEI olur. Şu halde
s(AEC)=s(ACE)=2α olacağı için
ACE ikizkenar bir üçgendir.
2- Madem ICAI=IAEI dir, o halde ICAI-IADI=IDEI=10 br. ve dolayısıyla IBDI=20 br. dir.

28