Page 34 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

2. BÖLÜM ÇOKGENLER - I

K Soru:
Şekildeki ABCDEF.... düzgün bir çokgendir. B-C-K, F-E-K noktaları doğrusal ve s(BKF)=60°
60°
ise bu çokgen bir dokuzgendir. Gösteriniz.
D
C E Çözüm:
1- CD uzantısı KF doğrusunu L noktasında kessin. Düzgün çokgenin dış açılarının ölçüleri eşit
B F olduğu için s(KCD)=α dersek s(LDE)=s(LED)=α olur. Öyleyse s(KLC)=2α ve KLC üçgeninde
α+2α+60°=180° den α=40° dir.
A 2- Verilen düzgün n-genin bir dış açısı 40° derece
olduğuna göre dur.
K
Soru:
60°
L ABCDEFGHI düzgün dokuzgen ise |AF|=|AB|+|AC| eşitliğini kanıtlayınız.
D

C E Çözüm 1:
1- IACI=IGEI, IAFI=IHDI ve [EG] // [DH] // [AB] olduğunu biliyoruz. DE ve HG doğruları P nokta-
B F sında kesişsin. Şu halde s(HDP)=s(PHD)=s(PEG)=s(PGE)=60°; PDH ve PEG üçgenleri eşke-
nar olur.
A 2- Nitekim IHDI=IDPI=IDEI+IEPI ise IAFI=IABI+IACI kanıtlanmış olur.

Çözüm 2:
1- [AC] // [ID] ve [CD] // [AF] // [IG] olduğunu göz önüne alalım.
IAKI=ICDI=IABI ve IKFI=IIGI=IACI olması IAFI=IAKI+IKFI=IABI+IACI olduğunu gösterir.
Çözüm 3:

1- GIRS dikdörtgeni tasarlanırsa, GFS ve IAR 30°-60°-90° özel üçgenleri elde edilir. Basit bir
hesapla, dokuzgenin en uzun köşegeninin, en kısa köşegen uzunluğuyla bir kenar uzunluğunun
toplamına eşit olduğu görülür.
Çözüm4:

1- s(IAF)=60° olmasını değerlendirelim. [AF] köşegeni üzerinde IAQI=IAII olacak şekilde Q noktası işa-
retlenirse, AIQ eşkenar üçgen ve FIQ ≅FIH olur. Bu ise bizi IAFI=IABI+IACI eşitliğine götürür.

Soru (2001 TÜRKİYE):
Kenar uzunluğu a olan düzgün dışbükey dokuzgenin en kısa ve en uzun köşegenlerinin uzunluk-
ları sırasıyla b ve c ise, a, b, c arasındaki ilişki nedir?
Çözüm:
1- Yukarıdaki çözümlerden dolayı, seçeneklerdeki c=a+b doğrudur.
33