Page 33 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

2.1 Çokgen
Soru:
+
n≥3 ve n∈N olmak üzere,
aynı düzlemde ardışık üç n kenarlı bir çokgende aşağıdaki önermeleri ispat ediniz:
tanesi doğrusal olmayan 1) İç açılarının ölçüleri toplamı (n-2).180° dir.
A ,A ,A ,A ,......,A gibi n
1 2 3 4 n 2) Dış açılarının ölçüleri toplamı 360° dir.
tane noktanın birleştirilmesiy-
le meydana gelen [A A ], Çözüm:
1 2
[A A ], [A A ], ...... [A A ]
2 3 3 4 n 1 1- n kenarlı bir çokgenin, bir köşesinden
doğru parçalarının oluşturdu- E
E F çizilen köşegenlerle (n-2) tane üçgen olu-
ğu kapalı şekle çokgen denir.
F şur. Bu üçgenlerin iç açılarının ölçüleri top-
D lamı, çokgenin iç açılar toplamını verir.
E D
F A A O halde n-genin iç açılarının ölçüleri topla-
B C mı (n-2).180° dir.
B
D C
A
2- n kenarlı bir çokgenin her bir köşesindeki iç ve dış açıların toplamı 180° dir. Dolayısıyla n köşede
toplam n.180° vardır. Bu toplamdan iç açıların ölçüleri toplamı olan (n-2).180° çıkartılırsa
B
C dış açıların ölçüleri toplamı=n.180°-(n-2).180°=360° bulunur.
Konveks Çokgen
Soru:
Bir çokgenin çizilebilmesi için 2n-3 tane eleman bilinmelidir. Bu elemanlardan
E
en az (n-2) tanesi uzunluk, (n-1) tanesi açı olmalıdır. Niçin?
F
D Çözüm:
A
B A A 1- Bir köşeden geçen köşegenler, n
P kenarlı çokgeni (n-2) tane üçge-
C
Konkav Çokgen B B ne ayırır. Biz biliyoruz ki bir üçge-
E E
nin belli olabilmesi için 1 tanesi
Bir çokgenin kenarları uzatıldı- uzunluk olmak üzere 3 tane ele-
ğında, bu uzantılar çokgeni D D mana ihtiyaç vardır.
C C
kesmiyorsa, çokgene konveks
çokgen denir. Şayet uzantılar- O halde çokgenin belli olabilmesi için 3.(n-2)=3n-6 tane eleman bilinmelidir.
dan biri çokgeni kesiyorsa, çok- 2- Bir çokgende, bir köşeden (n-3) tane köşegen çizildiği için, bu üçgenlerin (n-3) tane kenarı
gene konkav çokgen denir. ortaktır; yani en az 3n-6-(n-3)=2n-3 tane elemanın bilinmesi yeterlidir. 2n-3 elemanın,
en az (n-2) tanesi uzunluk olacağı için (n-1) tanesi de açıdır. Üçgenler belli olunca doğal ola-
rak çokgen de belli olacaktır.
2.2 Düzgün Çokgen
Bütün kenarları ve bütün açı- Düzgün çokgenlerin bazı özelliklerini hatırlayalım:
ları birbirine eş olan çokgene * Bir düzgün çokgende eşit sayıda kenarı birleştiren
düzgün çokgen denir.
köşegenlerin uzunlukları eşittir.
n kenarlı düzgün çokgenin, bir Örneğin ABCDEF düzgün altıgeninde IACI=ICEI dir.
eşkenar üçgen kare ** Kenar sayısı tek olan düzgün çokgenlerde, bir köşe-
iç açısının ölçüsü
den karşı kenarın orta noktasına inilen dikme simetri
ve bir dış açısının eksenidir. n kenarlı düzgün çokgenin n tane simetri
ekseni vardır.
ölçüsü dir. *** Kenar sayısı çift olan düzgün çokgenlerde, karşılıklı
köşegenler ve karşılıklı kenarlar paraleldir.
düzgün beşgen düzgün altıgen

32