Page 35 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

Soru (1993 TÜRKİYE):
A P E
Şekilde, ABCDE düzgün beşgen, O noktası bu beşgenin merkezi ve

Q
O
Çözüm:
B D
A P E 1- (KAK) eşliğiyle QBO ≅ PAO olup,
54°
54° s(BOQ)=s(AOP) ve IOQI=IOPI bulunur.
Düzgün beşgende bir kenarı gören merkez açının
C
ölçüsü 72° dir. Bu nedenle
Q
O s(BOA)=s(BOQ)+s(QOA)=s(QOA)+s(AOP)=72° dir.
54°
B 54° D 2- IOQI=IOPI den s(OPQ)=54° bulunur.
C
2.3 Dörtgen

Dört kenarı ve dört köşesi olan DÖRTGENLER * Konveks dörtgenin köşegenleri
çokgene dörtgen denir. dörtgenin iç bölgesindedir.
Konkav dörtgenin ise köşegenle-
[AB], [BC], [CD] ve [DA] doğru rinden biri dörtgenin dış bölgesin-
parçalarının birleşimine ABCD BASİT DÖRTGENLER BASİT OLMAYAN DÖRTGENLER
dörtgeni denir. A, B, C ve D dedir.
noktaları dörtgenin köşeleridir. D D C
c * Basit olmayan bir dörtgende
IABI=a,IBCI=b,ICDI=c ve C c c komşu olmayan iki kenar kesişir.
IDAI=d dörtgenin kenar uzun- d b d D Bu şekil kelebek diye bilinir.
luklarıdır. Ayrıca ardışık olma- C b d b * Konveks dörtgenin hem iç açı-
yan iki köşeyi birleştiren [AC]
A a B A a B A a B larının hem de dış açılarının
ve [BD] doğru parçaları ise
Konveks Dörtgen Konkav Dörtgen Kelebek Dörtgen ölçüleri toplamı 360° dir.
dörtgenin köşegenleridir.
Soru:

ABCD konveks dörtgeninde gösteriniz ki
i) A ve B açılarının açıortayları sırasıyla [AE] ve [BE] ise, dir.

ii) A ve C açılarının açıortayları sırasıyla [AE] ve [CF ise, dir.

Çözüm:
D 1- Yazılış kolaylığı için s(A)=2α, s(B)=2β, s(C)=2θ ve s(D)=2ψ
alalım. ABCD dörtgeninden α+β+θ+ψ=180° olur.
C
E AEB üçgeninde iç açılar yazılırsa, s(AEB)=180°-(α+β)
s(AEB)=180°-(180°-θ-ψ)⇒s(AEB)=θ+ψ bulunur. Bu bize C
ve D açılarının toplamının yarısının, AEB açısına eşit olduğu-

A B nu gösterir.
D 2- Diğer taraftan AECB dörtgeninde
α+2β+θ+[180°-s(AEF)]=360°⇒ α+θ=180°-2β+s(AEF) dir.
C ABCD dörtgeninde ise α+θ=180°-β−ψ dir. O halde
F E
α+θ=180°-β-ψ=180°-2β+s(AEF) ⇒s(AEF)=β−ψ olur ki bu biz-
den isteneni karşılar.(!)
A B
34