Page 38 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

2. BÖLÜM ÇOKGENLER - I

Soru (2001 MEKSİKA):
ABC üçgeninde IABI<IACI ve s(A)=2s(C) dir. D noktası [AC] kenarı üzerinde ve ICDI=IABI
dir. B noktasından AC doğrusuna paralel olan doğrusu çiziliyor. A açısının dış açıortay
doğrusu ve C noktasından [AB] kenarına çizilen paralel bir doğru, doğrusunu sırasıyla
M ve N noktalarında kesiyor. Bu durumda IMDI=INDI olduğunu kanıtlayınız.
Çözüm:
l M B N M B N

E A D C E A D C
1- İlk başta s(BAM)=s(MAE)=s(AMB) olduğu için IABI=IBMI olduğunu söyleyebiliriz. [BM] // [CD]
ve IBMI=ICDI ise MBCD bir paralelkenar olur; s(BMD)=α dersek s(C)=s(NBC)=α bulunur.
Problemde s(A)=2α verildiği için s(ABC)=180°-3α dır.
2- ABNC paralelkenar olarak tarif edilmiş. Bu yüzden s(DCN)=180°-2α ve ICNI=ICDI den
s(CND)=s(CDN)=α dır.
3- Ayrıca s(BAC)=2α iken s(BNC)=2α ve s(DNM)=α olur ki bu MDN üçgeninin ikizkenar olduğu-
nu gösterir. Bu ise zaten IMDI=INDI demektir.

2.4.3 Eşkenar Dörtgen

Dört kenarı birbirine eşit olan Soru:
paralelkenara eşkenar dört-
gen denir. ABCD eşkenar Bir eşkenar dörtgende köşegenlerin açıortay olduğunu ve birbirini dik kestiğini
dörtgeninde s(A)=s(C) dir. gösteriniz.
Çözüm:
D a C
D C D C 1- ABCD paralelkenarında köşegenler
birbirini ortaladığından IOCI=IOAI ve
a
a IBOI=IODI dir.
O O
2- BAD ikizkenar olduğundan [AO] doğru
a
A B A B A B parçası; hem kenarortay, hem yüksek-
lik hem de açıortaydır. Bu düşünceyle
ispat tamamlanır.
* Köşegenleri açıortay olan
dörtgen bir eşkenar dört-
gendir.
* Köşegenleri birbirini dik ola-
rak ortalayan dörtgen bir Soru (2002 ESTONYA):
eşkenar dörtgendir.
ABCD eşkenar dörtgeninde s(DAB)=60° olmak üzere, [AD] ve [DC] kenarları üzerinde sıra-
sıyla K ve L noktaları alınıyor. [AC] köşegeni üzerinde alınan M noktası ile KDLM para-
lelkenarı oluşturulduğunda, BKL üçgeninin eşkenar üçgen olacağını gösteriniz.
Çözüm:
D L C D L C 1- AKM ve MLC üçgenlerinin ikizkenar olduğu açıktır.
Ayrıca ABD ve BCD üçgenleri de birer eşkenardır.
K K M
M 2- Şekil biraz irdelense KBD ≅ LCB ve IKBI=ILBI oldu-
ğu görülür. Bunların neticesinde de BKL üçgeninin
eşkenar üçgen olduğu görülür.
A B A B

37