Page 385 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

A Soru ( 2000 Centromerican ) :
ABC dar açılı üçgeninde, [AC] ve [AB] çaplı çemberler çiziliyor. [AC] çaplı çember [AB]
kenarını F noktasında, [AB] çaplı çember [AC] kenarını E noktasında kesiyor. [BE], [AC]
E
çaplı çemberi P noktasında, [CF] ise [AB] çaplı çemberi Q noktasında kestiğine göre
F
IAPI=IAQI olur. Niçin?
P Q Çözüm:
B C
A 1- Açık bir şekilde s(AQB)=s(AFC)=s(AEB)=90° dir. Öklit teoremiyle

E 2- BFEC nin kirişler dörtgeni olması
eşitliğini gösterir. Bu eşitliklerle
F
Q
P
B C
Soru ( 2003 Centromerican ) :
[AB] çaplı çemberde C ve D noktalarından geçen teğet, çembere B noktasında değmek-
tedir. Bu çemberi [AC] ve [AD] sırasıyla E ve F noktalarında; [CF] ve [DE] ise H ve G
noktalarında kesmektedir. Buna göre IAGI=IAHI olduğunu kanıtlayınız.
Çözüm:
1- Bir çemberde, eş açıların gördüğü kirişlerin eşit
olduğunu biliyoruz. Yani IAGI=IAHI olmasıyla
s(AEH)=s(AFG) olması aynı şeydir. Dolayısıyla
s(AEH)=s(AFG) olduğunu gösterirsek işimiz
biter.Problemde [AB] çap olarak belirtildiği için
s(AEB)=s(AFB)=s(ABC)=90° dir. Bu sayede

2- Madem dir o halde CEFD bir kirişler dörtgenidir. Dolayısıyla
s(CED)=s(CFD) dir. Başka bir deyişle s(AEG)=s(AFH) dir.
3- Öte yandan buna s(GEH)=s(HFG) olduğu eklenirse, s(AEH)=s(AFG) olduğu görülür.

Soru:
A, C, B noktalarının üzerinde bulunduğu çember yayına A ve B noktalarından çizilen
teğetler P noktasında kesişmektedir. C noktasından [AB], [PA] ve [PB] kenarlarına
çizilen yükseklik ayakları sırasıyla X, Y ve Z ise; dir. Gösteriniz.
Çözüm:
P P 1- ''Aynı yayı gören teğet-kiriş açıyla çevre açı birbiri-
ne eşittir.'' kaidesiyle, YAC ≈ XBC ve XAC ≈ ZBC
olur. Bu benzerliklerin benzerlik oranı ICAI : ICBI
dir. Nitekim
Z Z
Y C Y C

A B A B
X X

384