Page 381 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

Soru ( 1998 A.B.D ):
Eş merkezli iki çember alınıyor. [AC] kirişi içteki çembere Q noktasında teğettir. [AQ] nun
orta noktası P olmak üzere, A noktasından çizilen bir doğru içteki çemberi R ve S nok-
talarında kesiyor. [PR] ve [CS] nin kenar orta dikmeleri, AC doğrusu üzerinde T nok-
tasında kesişiyor. Buna göre IATI:ITCI oranı kaça eşittir?
Çözüm:
1- A noktasından kuvvet uygulayalım.
x
A P Q T C A 2x P2x Q T 3x C
R R
S S

Bu eşitlik PRCS nin kirişler dörtgeni olduğu-
nu söyler.

2- PRCS kirişler dörtgeninde [PR] ve [CS] kirişlerinin kenar orta dikmeleri merkezden geçeceği
için, T noktası PRSC çemberinin merkezi olur. Şu halde IAPI=IPQI=2x dersek ITQI=x ve
ITCI=3x olur ki buradan IATI:ITCI=5:3 bulunur.

Soru ( 1998 İberoamerican ) :
ABC üçgeninin iç teğet çemberi [BC], [CA] ve [AB] kenarlarını sırasıyla D, E ve F nok-
talarında kesiyor. [AD] doğrusunun çemberle kesiştiği nokta Q olsun. [EQ] doğrusunun
[AF] nin orta noktasından geçmesi için gerek ve yeter şart IACI=IBCI olmasıdır.
Gösteriniz.

Çözüm:
1- ABC üçgeninin iç açıları 2α, 2β, 2θ alı-
A A
nırsa α+β+θ=90° ve
s(AQP)=s(EQD)=s(EDC)=90°-θ=α+β
P P
Q Q olur. P noktasında duralım:
F E F E

2
B D C B D C
2- Buna ek olarak s(APQ)=s(EPA) olduğu için APQ ≈ EPA çıkarımı elde edilir. Dolayısıyla
s(AQP)=s(EAP) ise α+β=2α ve α=β olur. O halde IACI=IBCI dir. Karşıtını da siz gösteriniz.

Soru ( 2000 TÜRKİYE ) :
O ve O merkezli, birbirine dıştan teğet iki çemberin ortak dış teğet doğrularından biri
1 2
çemberlere sırasıyla B ve C noktalarında değiyor. Çemberlerin ortak noktası A olmak
üzere, BA doğrusu O merkezli çemberi A ve D noktalarında kesiyor. IBAI=5 ve IADI=4
2
ise, ICDI nedir?
Çözüm:
1- s(BAC)=90° olduğuna göre [CD]
D D
çaptır. Öklit teoreminden
4 4
A A
O 1 O 1
O 2
O 2
5 5
B C B C
380