Page 388 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

6. BÖLÜM ÇEMBERLER - II

Soru ( 1950 KURSCHAK ):
Bir düzlemdeki C ,C , C çemberleri, üç farklı noktada, her biri diğerine teğettir. C ve
1 2 3 1
C çemberlerinin ortak noktası, diğer ortak noktalarla birleştirilerek iki doğru elde edili-
2
yor. Bu doğrularla C çemberinin kesiştiği noktaların, çap üzerinde karşılıklı nok-
3
talar olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
1- s(O CA)=α, s(O BA)=β,
C 2 C 2
1 2
s(O BC)=θ alınırsa;
O 2 O 2 3
C 1 C 1 s(AO C)=180°-2α,
B A B A 1
P P s(AO B)=180°-2β,
2
180°-2 s(BO C)=180°-2θ olur.
3
180°-2 180°-2
C 2- s(O )+s(O )+s(O )=180°
O 3 O 1 O 3 180°-2 C O 1 1 2 3
olduğundan α+β+θ=180° dir.
C 3 Q C 3 Q
3- s(O CQ)=α, s(O BP)=β ise s(PO B)+s(BO C)+s(CO Q)=180°-2β+180°-2θ+180°-2α=180° dir.
3
3
3
3
3
Bunun anlamı şudur: P-O -Q doğrusal olup P-Q noktaları çapın uç noktalarıdır.
3
Soru ( 2000 İNGİLTERE ):
A ve B noktalarında kesişen iki çemberin bir ortak teğeti, C ve D noktalarında çemberlere
teğettir. Buna göre ABC ve ABD üçgenlerinin alanlarının eşit olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
D K D 1- AB doğrusu, ortak teğeti K nokta-
C C
sında kessin.
A A
Kolay bir şekilde, IKCI=IKDI ile
A(ABC)=A(ABD) bulunur.
B B
6.9 Çift Merkezli Dörtgen
Bir dörtgen hem kirişler dört- D D
geni hem de teğetler dörtgeni
ise bu dörtgene Çift Merkezli
C r C
Dörtgen denir. İç teğet çembe-
rin yarıçapı r, çevrel çemberin A A R d
yarıçapı R ve merkezler ara-
sındaki uzaklık d ise

B B
Bu güzel eşitliğin ispatını size
bırakıyoruz. Soru:
Kenar uzunluklar a, b, c, d olan ABCD çift merkezli dörtgeninde
olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
1- ABCD teğetler dörtgeninin yarı çevresi u ise, u=a+c=b+d dir. ABCD kirişler dörtgeninin alanı

387