Page 389 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

Soru:
ABCD çift merkezli dörtgeninde; A', B', C', D' noktaları, iç çemberin kenarlara değme
noktaları olsun. IBB'I=9, IDD'I=4 ise küçük çemberin yarıçapı nedir?
Çözüm:
D D 1- Dörtgenlerin benzer oluşundan
4 C' 4 C' r:4=9:r olur. Buradan r=6 bulunur.
D' D'
180°-
r C r C
A A

B' B'
A' A'
9 9
180°-
B B
Soru:
A'B'C'D' kiriş dörtgeninin köşelerinden, bu dörtgenin çevrel çemberine çizilen teğetlerle
ABCD dörtgeni oluşturuluyor. '' A'B'C'D' dörtgeni dikgen bir kirişler dörtgenidir
ancak ve ancak ABCD dörtgeni çemberseldir.'' önermesini ispat ediniz.

Çözüm:
D D 1- A'B'C'D' dörtgeni, dikgen bir kirişler
C' C' dörtgeni olsun. Şu halde
D' D' s(DD'C')=s(DC'D')=α ve
C C s(BA'B')=s(BB'A')=β denirse;
A A
B' B'

A' A'

B B
Dolayısıyla ABCD dörtgeni çembersel olur. Karşıt durum benzer biçimde gösterilebilir.
Soru ( 2003 ÇİN ):
ABCD teğetler dörtgeninin iç teğet çemberinin [AB], [BC], [CD] ve [DA] kenarlarına
değme noktaları sırasıyla A', B', C' ve D' olmak üzere; E, F, G, H noktaları [A'B'], [B'C'],
[C'D'], [D'A'] kenarlarının orta noktalarıdır. Gösteriniz ki EFGH ın dikdörtgen olması
için gerek ve yeter şart ABCD nin kirişler dörtgeni olmasıdır.
Çözüm:
D D 1- İç teğet çemberin merkezi I ve yarıça-
pı r olsun. Şu halde IAA'I=IAD'I ve
C' C'
G G
D' D' AI ⊥ A'D' olur.
C C 2
F H F 2- Öklit ilişkisi ile IIHI.IIAI=r =IIEI.IIBI
A H I A I olduğundan, IIHI.IIAI= IIEI.IIBI olup,
AHEB çemberseldir.
B' B'
E E Bu nedenle s(ABE)=s(IHE) olur.
A' A'
Benzer şekilde s(IHG)=s(ADG),
s(IFE)=s(EBC), s(IFG)=s(CDG) dir.
B B
3- Sonuçta s(EHG)+s(EFG)=s(ABC)+s(ADC) bulunur. Bu eşitlik bize şunu söyler: ABCD veya
EFGH ın birinden biri çembersel olduğunda diğeri de çembersel olacaktır. EFGH paralelkena-
388 rının çembersel olması demek, dikdörtgen olması demektir. Böylelikle kanıt tamamlanmıştır.