Page 380 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

6. BÖLÜM ÇEMBERLER - II

Soru ( 1997 TÜRKİYE ):
|AC|=4ñ3 olan bir ABC üçgeninde [AB], [BC] ve [CA] kenarlarının orta noktaları sırasıy-
la D, E ve F dir. D, B ve E noktalarından geçen çember, bu üçgenin ağırlık merke-
zinden de geçiyorsa, IBFI kaçtır?
Çözüm:
A A 1- ABC üçgeninde [AC] // [DE] dir. Şu halde
s(BDE)=s(BAF) dir. Problemin koşulu gereği
23
D D BDGE kirişler dörtgeni, yani
F F s(BDE)=s(BGE)=s(AGF) dir. Şu an iki açısı
G G 23 eşit olan üçgenler var karşımızda, dolayısıyla
B C B C
E E

Soru ( 1994 İNGİLTERE ):
Bir çember üzerinde A, P, Q, R ve S noktaları s(PAQ)=s(QAR)=s(RAS) olacak şekilde
alınırsa IARI.(IARI+IAPI)=IAQI.(IAQI+IASI) olur. Gösteriniz.
Çözüm:

S S 1- IASI=s, IARI=r, IAQI=q ve IAPI=p
s s
diyelim. AR doğrusunu p kadar, AQ
A x A x doğrusunu s kadar uzatıp, D ve E
r r
noktalarını belirleyelim. Bu noktada
p p R DEQR dörtgeninin kirişler dörtgeni
q R p
x 180°- x 2 D olduğunu göstermek yeterli olacaktır.
x x 180°- Çünkü A noktasından kuvvet uygula-
P P r
Q Q yabilsek, bu bizi istenen eşitliğe götü-
recektir.
s

E
ISRI=IRQI=IQPI=x ve s(ASR)=β olarak alınırsa, ASRQ kiriş dörtgeninden s(RQE)=β olur.
(KAK) eşlik prensibiyle RQE ≅ RSA olacağı için IREI=IRAI=r ve s(RAS)=α iken s(REQ)=α bulu-
nur. Bu sayede s(ERD)=2α yazılır.
2- APQR kirişler dörtgenine bakıyoruz; s(APR)=s(AQR)=180°-β dır. (KAK) eşlik prensibiyle
RAP ≅ ERD görülürse s(RDE)=s(APR)=180°-β olur. Sürpriz! DEQR bir kirişler dörtgenidir.
Soru ( 2005 HIRVATİSTAN ):
Çevrel çemberinin yarıçapı R ve kenar uzunlukları a, b, c olan bir üçgende
oluyorsa, bu üçgen hangi açılara sahiptir?

Çözüm:

2- A.O - G.O eşitsizliğinden olduğunu biliyoruz.
O halde b=c ve sinA=1 olmalıdır. Yani bu üçgen 45°-45°-90° özel üçgenidir.

379