Page 386 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

6. BÖLÜM ÇEMBERLER - II

Soru ( 1963 SOVYETLER BİRLİĞİ ):
ABC ikizkenar üçgeninin içerisinde öyle bir P noktası alınıyor ki P noktasının tabana
olan uzaklığı ile, P noktasının ikiz kenarlara olan uzaklıkları bir geometrik dizi oluşturu-
yor. Bu şartı sağlayan P noktasının geometrik yerini bulunuz.
Çözüm:
A A A 1- P noktası (yukarıdaki gibi) BPC çem-
berinin üzerinde olması halinde
2
|PX| =|PY|.|PZ| eşitliği sağlanacaktır.
2- P noktasının bu çemberin içerisinde
Z veya dışarısında olma durumlarını
Z Y P''
Y P Y P' Z inceleyelim. Önce P noktası içeride
olsun. Şu halde P ile A noktalarını bir-
P
B C B C B C leştirelim. Yay ile [AP] nin kesişimine
X X X P' diyelim. Bu durumda hem
IPXI<IP'XI hem IPYI>IP'YI hem de
IPZI>IP'ZI olur.
2
Dolayısıyla |PX| <|PY|.|PZ| bulunur.
2
3- Aynı düşünce ile çemberin dışında bir P'' noktası alındığında |P''X| >|P''Y|.|P''Z| olur. Yani BPC
çember yayından ayrılamıyoruz.
Soru ( 1971 KANADA ):
Bir çemberde, bir çap ile bir kiriş bir noktada kesişiyor. Kirişden ayrılan parçaların uzun-
lukları 3 br. ve 5 br. dir. Çaptan ayrılan bir parçanın uzunluğu ise 1br. olduğuna göre,
çemberin yarıçap uzunluğu ne kadardır?
Çözüm:
1- [CD] çapı ile [AB] kirişi P noktasında kesişsin.
A A Kuvvet özelliğiyle hemen IPDI=15 br. bulunur.
D D Dolayısıyla yarıçap 8 br. olur.
3 3 15
1 1
C P C P
5 5
B B
Soru ( 1962 SOVYETLER BİRLİĞİ ):
IABI=IBCI ve [AC] nin orta noktası M olmak üzere, [BC] üzerinde bir H noktası [MH] ⊥ [BC]
olacak şekilde seçiliyor. [MH] ın orta noktası P ise [AH] ⊥ [BP] olur. Gösteriniz.
Çözüm:

B B 1- [AH] üzerinde bir X noktası düşünelim
öyle ki [BX] ⊥ [AH] olsun. BX uzantısı,
MH doğrusunu P' noktasında kessin.
Uğraşımız: P' noktasının orta nokta oldu-
ğunu gösterme işidir. İlk başta [AB] nin
N orta noktasına N diyerek M, X, B, A nok-
talarının |NA| yarıçaplı çember üzerinde
olduğunu görelim.
H X H 2- M ve N orta nokta olduğundan
NMA ≈ BCA ve s(NMH)=90° dir.
P P'
A M C A M C
3- P' noktasından kuvvet uygulayınca IP'MI.IP'MI=IP'XI.IP'BI olur.
Ayrıca P'XH ≈ P'HB ⇒ IP'HI.IP'HI=IP'XI.IP'BI dir. Böylelikle IP'HI=IP'MI bulunur.
Yani [AH] ⊥ [BP] gösterilmiş olur. 385