Page 42 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

2. BÖLÜM ÇOKGENLER - I

Soru:
ABCD karesinin [AB] kenarının orta noktası P olmak üzere, [AC] köşegeni üzerinde
alınan bir R noktası için IARI:IRCI=3 ise, s(PRD)=90° dir. Gösteriniz.
Çözüm:
C D C 1 D 1- Yandaki şekilde IABI=4 br olsun. R noktasın-
k 1 1 dan kenarlara çizilen paraleller ile kenarları 1
R R
3 D' br ve 3 br olan iki kare oluşur. P noktası orta
nokta verildiğinden IPP'I=1 olur.
3k
3 3 2- DD'R ≅ PP'R eşliğinden s(PRD)=90° bulunur.

B P A B P' 1 P 2 A
2.4.6 Deltoid
Köşegenlerinden birine göre Soru (1984 BREZİLYA):
simetrik olan konveks dörtge-
ne deltoid denir. s(A)=90° olan ABC dik üçgeninde, [BC] kenarı üzerinde bir D noktası alınıyor. D nokta-
sından [AB] ve [AC] kenarlarına çizilen yükseklik ayakları E ve F olmak üzere, D nok-
tası nasıl seçilmelidir ki IEFI minimum olsun?
D
C
Çözüm:
O C C 1- IEFI nin minimum olması için IADI minimum olmalıdır.
(AEDF dikdörtgeninin [EF] ve [AD] köşegenlerinin eşit oldu-
B
A ğunu biraz önce göstermiştik.) Bu nedenle D noktası, A
D noktasından çizilen yükseklik ayağı olarak seçilmelidir ki
C
D' IADI (dolayısıyla IEFI) minimum olsun.
D F D F
O
B E A B E A
A B
Soru (2005 YUNANİSTAN):
AB // CD ve ICDI=2IABI olan ABCD yamuğunda DB ⊥ BC dir. [DC] kenarının orta nok-
tası M, DA ve CB doğrularının kesim noktası E ise gösteriniz ki;
a) ABMD dörtgeni bir eşkenar dörtgendir.
b) CDE üçgeni bir ikizkenar üçgendir.
c) AM ve BD doğruları O noktasında, OE ve AB doğruları N noktasında kesiştiğinde
DN doğrusu [EB] yi iki eşit parçaya ayırır.

Çözüm:
C a M a D C a M a D 1- IABI=a dersek ICDI=2a olup
muhteşem üçlüden
a a O
a a IBMI=IDMI=a bulunur.
Bu veri AB II DM ile birlikte
B B A
a A N
düşünüldüğünde, ABMD dört-
a a geninin bir eşkenar dörtgen
olduğu anlaşılır.
E E
2- IDCI=IDEI=2a olması, DEC üçgeninin ikizkenar üçgen olduğunu gösterir.
3- Kenarortaylar bir noktada kesiştiğinden (4.Bölümde göstereceğiz.), EBD üçgeninde DN doğru-
su [EB] kenarını iki eşit parçaya ayırır.

41