Page 47 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

3.3 Çemberde Teğetin Özellikleri

O merkezli çembere, dışındaki Soru:
P noktasından çizilen teğetle- Çemberin herhangi bir teğeti, değme noktasında yarıçapa diktir. Kanıtlayınız.
rin değme noktaları A ve B ise,
[PA] ve [PB] doğru parçalarına
teğet parçaları denir.
Çözüm:
d d 1- Varsayalım ki [OD] yarıçapı d doğrusu-
na dik olmasın. Bu halde [OP] dikmesi-
D D ni çizelim. Dik kenar hipotenüsten
A
r P küçük olacağı için IOPI<IODI olur.
r 2- Diğer taraftan D noktasının, çemberin
r
dışındaki P noktasından merkeze daha
O O
O P yakın olması icap eder; yani IODI<IOPI dir.
3- IOPI<IODI ve IOPI>IODI ⇒ IOPI=IODI
olur, bu P ve D noktalarının çakışık oldu-
B ğunu gösterir. Demek ki OD ⊥ d olmalıdır.

A Soru:
Bir çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçalarının uzunlukları eşittir.
Gösteriniz.
P
Çözüm:
1- OPA ve OPB dik üçgenlerin-
B de IOAI=IOBI=r ve hipotenüs
A A
ortaktır. Dolayısıyla bu
r üçgenler eş ve IPAI=IPBI dir.
(Burada APBO deltoid ve
O O [OP] deltoidin açıortayıdır.)
P P
r
B B

Soru:
İki çember birbirine teğet ise; bu çemberlerin merkezlerini birleştiren doğru,
değme noktasından geçer. Gösteriniz.
Çözüm:

T T 1- A ve B merkezli çemberler P
noktasında (içten veya dıştan)
birbirine teğet olsun. PT teğetini
çizelim: Teğet, değme noktasın-
A P B AB P da yarıçapa dik olduğu için
s(APT)=90° ve s(BPT)=90° olur
ki böylelikle A-P-B noktalarının
doğrusal olduğu görülür.

46